prosze o pomoc PROSZE_O_POMOC: zmaksymalizuj funkcję Cobba−Douglasa u(x,y) =x^1₃y^2₃ przy warunku x+y=3

Trivial: u(x,y) = x^1/3y^2/3 Z warunku x+y = 3 otrzymujemy y = 3−x. Wstawiamy do równania funkcji u(x,3−x) = x^1/3(3−x)^2/3 = ³√x(3−x)² = φ(x) Funkcja φ(x) ma ekstrema w tych samych punktach, co φ³(x), zatem wystarczy policzyć ekstrema funkcji ψ(x) = x(3−x)². Liczymy pochodną ψ'(x) = (3−x)² − 2x(3−x) = 9 − 6x + x² − 6x + 2x² = 3x² −12x + 9 = 3(x−3)(x−1). Zatem kandydatami na ekstrema są punkty: x₁ = 1 oraz x₂ = 3. ψ''(x) = 6x − 12 ψ''(1) < 0 → x₁ = 1 to maksimum lokalne; y₁ = 3−x₁ = 2 ψ''(3) > 0 → x₂ = 3 to minimum lokalne Zatem funkcja u(x,y) przy warunku x+y = 3 osiąga maksimum dla punktu (x,y) = (1,2) i jest to wartość ³√4.