granica funkcji obi2exe: Kiedy liczymy granicę funkcji z lewej i prawej strony? Chodzi mi o to czy trzeba to robić w każdym przypadku?, np.gdy argument dąży do 2 ale we "wykładniku" nie nie ma ani plusa ani minusa.

asdf: kiedy mamy podejrzenie, ze funkcja w granicy moze mieć inny znak, to znaczy: lim_(x→x0⁺) f(x) ≠ lim_(x→x0⁻) f(x) np.

	1
limx→0		= ile?
	sin(x)

a to:

	1
limx→0		= ile?
	cos(x)

asdf: nie istnienie granicy mozna latwo wykazac z tw. Heinego (ale zrozumienie tego dzialania tego twierdzenia "do szczegolow" − lacznie graficznie jest troche trudne, jednak wyuczenie schematu jest proste).

obi2exe:

	A
Chodzi Ci o to, że gdy otrzymam postać ze wzoru		= −/+∞ muszę ustalić znak ∞?
	0

np.

	1		1
limx→0		=		nie jestem pewien czy to będzie −/+∞ muszę policzyć z
	sin(x)		0

lewej i prawej i jeżeli są zgodne to mam wynik?

obi2exe: Czy dla powyższego przykładu ustalenie granicy będzie wg. możliwe?

asdf: przecież Ci napisałem, druga linijka, wnioski wyciągnij sam P.S Granica nie istnieje.

asdf: nie zawsze trzeba liczyc granice obustronne, np.

	1
limx→∞		=
	|x|

a czasem wypadalo by:

	|x|
limx→0		=
	x

obi2exe: Ty i te twoje łamigówki Nie znalazłem odpowiedzi na moje pytania. Niech ktoś pomoże...

obi2exe:

	|x|
limx→0
	x

To nie będzie symbol nieoznaczony? Granice jednostronne chyba nic nie dadzą.

asdf: Prosze Cie, kolego...wiecej pokory, masz pretensje, ze ktos Ci pomaga? W takim razie idz do szkoly i sie dowiedz. Ode mnie juz nie otrzymasz zadnej wskazowki...Jezeli wydaje Ci sie, ze zrozumienie matematyki polega na wykuciu schematow na blache (patrz: nauczanie w szkole sredniej) to sie grubo mylisz. Daje Ci przyklad nad ktorym wystarczy chwile pomyslec, ale jak widac uzycie mozgu jak i odpowiednie zachowanie sprawia Ci problem

obi2exe: 1) Nie rozumiemy się kolego. 2) Do szkoły już niebawem pójdę, ale warto nie być zielonym na wejściu. 3) Niestety tak nauczono mnie w szkole i nie znam innych sposobów. 4) Nie obraziłem Cię i nie bardzo wiem, dlaczego czujesz się zażenowany.

Basia: Granicę prawostronną i lewostronną trzeba na pewno liczyć w dwóch przypadkach: 1. przy x→x₀ jeżeli funkcja nie jest w p−cie x₀ określona

	1
np. f(x) =
	x−2

musimy liczyć granice przy x→2⁻ i przy x→2⁺ 2. przy x→x₀ jeżeli w p−cie x₀ funkcja zmienia wzór np: x²−4 dla x∊(−∞;−2) f(x) = 4−x² dla x∊<−2;2> x−2 dla x∊(2;+∞) w punktach x₁ = −2 i x₂ = 2 trzeba liczyć granicę prawo i lewostronną Innych przypadków raczej nie kojarzę, ale to nie znaczy, że ich nie ma

obi2exe: Co to jest to x₀

Trivial: asdf, co ty masz do tych schematów... Schematy też są potrzebne − często sprowadzają problemy do mechanicznego przekształcania. Ja rozumiem, że warto myśleć, ale czasem nie ma innego sposobu jak właśnie to mechaniczne przekształcanie. Poza tym, schematy dają się łatwo zautomatyzować, co jeszcze bardziej podnosi ich wartość. Ich demonizowanie mija się z celem.

asdf: @Trivial nie mam nic do schematow, po to je ludzie wymyslili, by z nich korzystać. Tak samo w programowaniu nie wymysla sie nowych algorytmow, tylko korzysta z tych co są, ale warunkiem na ich sensowne uzycie jest ich zrozumienie, inaczej nie ma sensu, prawda?

Basia: x₀ to symbol taki sam jak każdy inny

Basia: prawda asdf, prawda

obi2exe: W drugim przypadku, a to dlaczego?

Basia: co dlaczego ?

obi2exe: Dlaczego należy liczyć granice jednostronne gdy funkcja zmienia wzór?

Basia: bo może być w tym punkcie nieciągła i wtedy te granice są różne −x+1 dla x<0 f(x) = x+3 dla x≥0 lim_x→0⁻ f(x) = −0+1 = 1 lim_x→0⁺ f(x) = 0+3 = 3

Trivial: asdf, można używać schematów bez ich zrozumienia. Wystarczy wiedzieć jakie jest wejście, wyjście i ewentualnie do jakich problemów dobrze się nadaje, a do jakich nie za bardzo. Na podobnej zasadzie możesz korzystać z języka programowania wysokiego poziomu bez znajomości instrukcji assemblera do jakich jest tłumaczony przy kompilacji.

obi2exe: Ale jeżeli będzie nieciągła to przecież może nie spełniać jednego z trzech warunków. Chodzi mi o to, że granice jednostronne mogą być takie same, ale jeżeli wartość funkcji dodatkowo będzie w tym punkcie inna to też będzie nieciągła.

Basia: oczywiście może być i tak; nie ma tu żadnej sprzeczności są tylko różne możliwości

obi2exe: Dziękuje Basia, jak zauważyłem w liczeniu granic nie ma złotego środka trzeba po prostu kombinować i stosować metody. Mam nadzieję, że przy systematycznym rozwiązywaniu uda mi się to opanować.

asdf: @Trivial tak, tylko nie mozna do konca tak szalec z tym wszystkim i jakies podstawy wiedziec, jak juz pisalem − do schematow nic nie mam − Ba, niektorych rzeczy nawet nie staram sobie wyprowadzic, bo i tak nie zrozumiem wyprowadzenia, np. wyprowadzenie wzorow na rekurencje uniwersalną. Znam jedynie tak jak napisales − co trzeba, jaki przypadek i co z tego otrzymam, nastepnie jak tego uzyc itd. Ale są rzeczy, do ktorych wypadalo by znac wyprowadzenie / interpretacje geometryczną (np. co daje ujemna pochodna).

Trivial: asdf, zgoda.

asdf: Żeby nie było niedomówień: nie staram się na siłę szukać przeciwnego zdania. W 100% popieram Ciebie, jednak jak każdy − posiadam swoje zdanie, ktore nie jest uwarunkowane od innych, tylko ode mnie − szczerze i bez żadnych indywidualnych złości (do Ciebie tym bardziej bym nie miał, ale to nie czas na słodzenie )

fx: To działa też w drugą stronę. Można łatwo wpaść w pułapkę "wypada znać X". Inżynier powinien wiedzieć jakiego narzędzia użyć, nie koniecznie wiedzieć jak to narzędzie działa. Bardzo nie podobają mi się te wszystkie wywody oświeconych matematyków na temat tego, że obecni inżynierowie mają zbyt mały kontakt z matematyką. Brakuje tutaj trzeźwego spojrzenia i pragmatyzmu. Mało kto dostrzega, że obecnie przeciętnemu inżynierowi nie potrzeba takich umiejętności matematycznych jak jego koledze 50 lat temu. Czy muszę pisać dlaczego? Wiecie na pewno jak liczyło się 50 lat temu objętości wymyślnych elementów. Dziś żaden inżynier nie będzie liczył tego na kartce papieru. No chyba, że hobbistycznie.

fx: Nie chciałbym aby ktoś moją wypowiedź odczytał personalnie. Odniosłem się do ogólnego trendu, który można zaobserwować na każdym forum związanym z matematyką.

asdf: Trzeba mieć trzeźwe spojrzenie i normalne podejście. Nikt nie mówi tu o tym, że trzeba umieć liczyć całki przez całe życie, ale jak już się je liczy, to chociaż trochę trzeba wiedzieć "co" − po co tak na prawdę potrzebne są tu pochodne do liczenia pola, co tak na prawdę daje funkcja pierwotna..i można tak wymieniać. Osobiście po 2 miesiącach nie liczenia całek zapomniałem jak niektóre policzyć. W pracy na pewno one mi się nie przydadzą to już pozapominam większość z analizy.

Trivial: fx, w pełni się z Tobą zgadzam.