wielomiany Julia: Proszę o pomoc, dany jest wielomian W(x) = (x+2)(mx² + 5x +m). Wyznacz wszystkie wartości parametru m dla których ten wielomian m dokładnie 3 pierwiastki. Wiem, że miejscem zerowym jest −2, dlatego w równaniu kwadratowym muszę mieć 2 pierwiastki. Musze założyć, że m ≠ 0 (r−nie liniowe odpada), ale czy Δ >0, czy ≥ ?

AS: Z moich wyliczeń wynika,że nie ma takiego m. Wiadomo,że x1 = −2 Wstawiając do drugiego nawiasu x = −2 otrzymamy 4*m +5*(−2) + m = 0 czyli 5*m = 10 czyli m = 2 Ale równanie 2*x² + 5*x + 2 = 0 ma pierwiastki x2 = 2 i x3 = −1/2. Również delta równania kwadratowego winna wynieść zero a tak nie jest.

5-latek: ja bym napisal Δ≥0 bo nie jest napisane 3 rozne pierwiastki ale niech sie wypowiedza inni

AS: Prostuję,szukałem m dla którego równanie ma pierwiastek potrójny. Ostatnie zdanie jest nieaktualne. Ma trzy pierwiastki dla m = 2.

AS: Ale naknociłem na całej linii. 5−latek ma rację. Zał. m ≠ 0 Δ = 5² − 4*m*m > 0 ⇒4*m² − 25 < 0 a to ma rozwiązanie dla m ∊ (−5/2,5/2) Biorąc pod uwagę założenie rozwiązaniem będzie m ∊ (−5/2,5/2) \ {0}

zombi:

Julia: czyli Δ≥0 , nie powinno być zatem <−5/2 . 5/2 > − {0} ?

Julia: Czy ktoś jest w stanie mi pomóc?

PW: Liczba a jest nazywana pierwiastkiem wielomianu W, gdy (1) W(a) = 0. Inaczej mówiąc: pierwiastek wielomianu to jego miejsce zerowe. Tyle i tylko tyle. Jeżeli mówimy, że wielomian ma dokładnie trzy pierwiastki, to znaczy że ma dokładnie trzy miejsca zerowe. Mówimy, że liczba a jest k−krotnym pierwiastkiem wielomianu W, gdy istnieje wielomian P, taki że (2) W(x) = (x−a)^k•P(x) i nie istnieje wielomian Q, dla którego byłoby W(x)=(x−a)^k+1•Q(x). Zauważmy, że są to różne definicje, mówią o nieco innych zjawiskach. Pierwiastek k−krotny oznacza istnienie rozkładu postaci (2), czyli podzielność wielomianu przez (x−a)^k. Pierwiastek to miejsce zerowe − liczba a jest tylko jedna. Niektórzy mówią np. o trzech pierwiastkach wielomianu "licząc z krotnościami". Jest to pewien skrót myślowy, który należy rozumieć następująco (zakładamy że a,b,c są różnymi liczbami i wielomian P jest nierozkładalny lub jest stałą): (3) W(x)=(x−a)³•P(x) albo (4) W(x)=(x−a)²(x−b)•P(x) albo (5) W(x)=(x−a)(x−b)(x−c)•P(x). W wypadku (3) jest jeden pierwiastek, w (4) są dwa pierwiastki, w (5) wielomian ma trzy pierwiastki. W zadaniu Julii nie ma wątpliwości co autor miał na myśli − są trzy pierwiastki, nie użyto określenia "licząc z krotnościami", czyli trójmian mx² + 5x +m musi mieć dwa pierwiastki, inne niż (−2), zatem: a) m ≠ 0 b) Δ>0 c) x₁≠−2 i x₂≠−2.

Julia: @PW − Wielkie dzięki, miałam dużo wątpliwości co do tego zadania, które dzięki Tobie rozwiałam. Pozdrawiam