Funkcja kwadratowa Matfizołka: Dla jakich wartości parametru m suma kwadratów pierwiastków równania x² + 2mx + 2m² − 3m = 0 jest największa?

sushi_ gg6397228: wzory Viete'a znamy?

Matfizołka: tak znamy tylko najpierw trzeba delte obliczyć?

sushi_ gg6397228: to zapisujemy suma kwadratów pierwiastków wzorem

Matfizołka:

	−b		c
(		)2 − 2
	a		a

po przekształceniu takie coś wyjdzie ale obliczenia mi nie wychodzą

Matfizołka: wychodzi 6m i co później z tym zrobić?

ZKS: Najpierw warunek na Δ aby istniały pierwiastki.

Matfizołka: Δ>0

Matfizołka: wychodzi −4m² + 12

ZKS: Zły warunek na Δ. Masz mieć pierwiastki a nie dwa różne pierwiastki.

Matfizołka: to jaki ma być warunek?

Antek: Δ≥0

ZKS: Napisałem że muszą być pierwiastki a nie dwa różne więc ten zwrot nierówności powinien być troszkę inny.

Matfizołka: to jak tą Δ rozwiązać?

Antek: Taki jest u mnie zapis wiekszy lub rowny (na dole jest kreska )

ZKS: Przecież Antek napisał jaki warunek musisz dać. Wyznaczasz dla jakich m masz Δ ≥ 0. To będzie Twoją dziedziną.

Matfizołka: −4m²+12≥0 −4m²≥−12 m²≤3

ZKS: Chyba coś zjadłeś przy 12.

Matfizołka: dobrze to robię?

Matfizołka: ok już widzę

Matfizołka: wychodzi przedział <0, 3>

ZKS: Zgadza się. Teraz masz funkcję liniową f(m) = 6m gdzie m ∊ [0 ; 3] więc dla jakiego m ta wartość będzie największa?

Matfizołka: dla m=3

Matfizołka: dziękuję za pomoc

ZKS: Zgadza się. Nie ma za co proszę bardzo.

PW: Panie i Panowie, pozwolę sobie mieć inny pogląd. Mylicie dwie rzeczy: pierwiastek równania i pierwiastek podwójny wielomianu (funkcji kwadratowej). Wielomian W(x)=(x−5)², x∊R ma jeden pierwiastek, nazywany pierwiastkiem podwójnym z tego względu, że w jego rozkładzie czynnik (x−5) występuje dwukrotnie . Nie wolno mówić, że ma on dwa pierwiastki. Równanie (1) (x−5)²=0 również ma jeden pierwiastek (niektórzy mówią, niezbyt poprawnie, że ma jedno rozwiązanie). Przypominam, że zgodnie z najprostszą definicją pierwiastkiem równania jest liczba, która podstawiona do tego równania w miejsce x zamienia je w zdanie prawdziwe. Nie podstawiamy tej samej liczby dwa razy, żeby sprawdzić prawdziwość zdania, na tej zasadzie można i sto razy sprawdzić, tylko po co? Pierwiastków równania nie przybędzie − ciągle jest to ta sama liczba 5. Dlatego też − jeżeli autor zadania mówi o sumie kwadratów pierwiastków równania kwadratowego, to ma na myśli dwie różne liczby. Należy założyć, że Δ>0. Niekiedy w literaturze bywa używane określenie "liczba pierwiastków wielomianu (licząc z krotnościami)". Należy to jednak dobrze rozumieć i nie przenosić tego pojęcia na grunt rozwiązywania równań, co jak widzę jest coraz powszechniejsze. Jest faktem, że nawet w książkach widzi się takie podejście, ale jest ono błędne. Kto nie wierzy, niech zajrzy do definicji w podręcznikach.

Antek: Witaj PW i pozdrawiam. Wiem ze masz zamiar pisac ksiazke W swojej pracy <Kurs przygotowawczy z matematyki na wyzsze uczelnie > Lech Wlodarski pisze tak: Warunki dostateczne i konieczne na to aby pierwiastki rownania kwadratowego o wspolczynnikach zaleznych od parametru istnialy i mialy okreslone znaki i Wezmy pod uwage rownanie kwadratowe ax²+bx+c=0 POdajemy kolejno A. Warunek dostateczny i konieczny istnienia pierwiastkow: Δ≥0 B. Warunki dostateczne i konieczne aby pierwiastki istnialy i byly dodatnie: 1. Δ≥0

	b
2. −		>0
	a

	c
3.		>0
	a

C. Warunki dostateczne i konieczne na to aby pierwiastki istnialy i byly ujemne: 1. Δ≥0

	b
2. −		<0
	a

	c
3.		>0
	a

D. Warunek dostateczny i konieczny na to aby pierwiastki istnialy i byly roznych znakow : ac<0 Uzasdnienie : wowczas Δ=b²−4ac=b²+4(−ac)>0 (gdyz b²≥0 −ac>0)

	c		c
Iloraz		ma ten sam znak co iloczyn ac czyli jest		<0; widzimy wiec ze pierwistki
	a		a

istnieja oraz ich iloczyn jest ujemny a wiec pierwiastki musza miec rozne znaki . Wiec nie wiadomo jak z ta delta Jeszce raz pozdrawiam i pisz w koncu ta ksiazke

PW: Nie zgadzam się ze stylem wypowiedzi prof. Włodarskiego. Δ≥0 jest warunkiem koniecznym istnienia co najmniej jednego pierwiastka (jednego lub dwóch). Jeżeli używamy liczby mnogiej (dwa pierwiastki), to mówimy o dwóch różnych liczbach, Δ>0. Nie znaczy to, że L. Włodarski popełnił błąd. Wielu matematyków wypowiada się w ten sposób − "istnieją pierwiastki" to znaczy "istnieje co najmniej jeden pierwiastek". Dopóki to dobrze rozumiemy, to jest wszystko w porządku. W tym wypadku − w podręczniku dla osób systematyzujących wiedzę przed rozpoczęciem studiów − powinno się unikać takich określeń. Zgadzamy się z D. − jest dowód, że jeśli ac<0, to Δ>0, a więc istnieją dwa pierwiastki i są one różnych znaków. Co miałoby jednak oznaczać istnienie dwóch jednakowych ujemnych pierwiastków? Takie zwierzę nie istnieje (patrz definicja pierwiastka równania).

Antek: Czesc. TO wedlug Ciebie jakie powinny byc warunki dostateczne i konieczne

PW: Dwa pierwiastki to dwie różne liczby. Takie jest "filologiczne" rozumienie słowa "dwa" i taki jest sens matematyczny słowa "pierwiastek". Nie można mówić, że np. liczba 5 to dwa pierwiastki równania Dwa byty w jednym?. Nie ma sensu mówienie "dwa różne pierwiastki" w odróżnieniu od "dwóch jednakowych pierwiastków". Dlatego określenie "dwa pierwiastki równania kwadratowego" automatycznie oznacza, że Δ>0. Jeszcze raz podkreślam − w teorii wielomianów mówi się o pierwiastku podwójnym. W ramach tej teorii niektórzy zamiast poprawnego określenia używają żargonowego "dwa jednakowe pierwiastki wielomianu". Nie ma w definicji pierwiastka równania czegoś takiego jak "pierwiastek podwójny".

Basia: @PW z jednym wyjątkiem; równanie w ogóle nie ma pierwiastków; równanie ma rozwiązania pierwiastki ma wielomian

Antek: Chodzi mi caly czas o zapis, nie o definicje pierwiastka Wedlug mnie jesli byloby napisane .... suma kwadratow dwoch pierwiastkow rownania to wtedy mam jasnosc ze delta >0 Czy Ty moze traktujesz slowo w zadaniu < pierwiastkow > jak ze ich bedzie dwa ? Wobec tego jak powimna byc zapisana wedgug Ciebie tresc zadania zeby dac warunek delta wieksza lub rowna 0 .

PW: Tu znowu panuje jakiś niepotrzebny dualizm w nazewnictwie. Jedni mówią o pierwiastkach równania, a rozwiązaniem nazywają zbiór wszystkich pierwiastków równania. Najwyraźniej autor zadania cytowanego przez Matfizołkę zadania jest zwolennikiem tego podejścia, i w tym języku wypowiadałem się. Inni mówią o rozwiązaniach równania i zbiorze rozwiązań równania. Biedni adepci, którzy w jednych książkach widzą takie, a w drugich inne nazewnictwo. Patrząc na zadania maturalne wnioskuję, że obecnie w szkołach przyjmuje się drugą wersję. Cóż z tego, jeśli używa się różnych zbiorów zadań, także tych starszych.

Basia: 1. zgadza się PW; teraz taka "nomenklatura" obowiązuje 2. sformułowanie "suma kwadratów pierwiastków" ma sens (filologiczny) ⇔ liczba pierwiastków > 1 (moim zdaniem) 2. Ta praca Włodarskiego jest bardzo stara; trochę nam się terminologia od tego czasu zmieniła

Antek: DobrzePW zostawmy to na razie . Zobaczymy jakie beda w przyszlosci zadania. Czesc

PW: Jeszcze raz na pytanie Antka − w tym języku drugim, który może pozwala uniknąć nieporozumień "pierwiastek − rozwiązanie − pierwiastek wielokrotny". Jeżeli mówią o warunku istnienia rozwiązania równania kwadratowego, to Δ≥0. Istnienie rozwiązania należy traktować jako "istnienie co najmniej jednego rozwiązania" Jeżeli mówią o dwóch rozwiązaniach, to Δ>0.

Antek: Basiu Ksiazka jest 1984roku Az tak stara nie jest

Basia: Wydanie jest z 1984, ale prof. Lech Włodarski napisał ją we wczesnych latach siedemdziesiątych (albo i późnych sześćdziesiątych) zaraz po reformie programowej z 1967 roku. To ta ze współautorką Ewą Hensz czy ta napisana z Janikowskim ? Bo ta z Janikowskim chyba jeszcze starsza, chociaż głowy nie dam. To już tak dawno było. Potem już zapewne jej nie aktualizował. Zresztą przecież to całe nazewnictwo jest sprawą umowną. Na maturze trzeba trzymać się terminologii używanej w podręcznikach i tyle.

Antek: Ta ze wspolautorka Ewa Hensz Mam tez Zakowskiego < matematyka dla kandydatow na wyzsze uczelnie techniczne > i tam juz jest napisane jasno czy dwa czy pierwiastek podwojny .

Basia: i ta terminologia obowiązuje do dziś dnia a ponieważ ta wersja książki Leitnera i Żakowskiego ukazała się pierwszy raz w roku pańskim 1970/1971 podejrzewam, że Włodarski może być jeszcze starszy

Antek: https://matematykaszkolna.pl/forum/210197.html Ucze sie dopiero tego . I tam o godz 18. 45 w tym linku (pisalem z komputera brata dlatego inny nick) tak sie zastanawiam czy dobrze doradzilem i ewentualnie jak dalej postapic Prosze Cie Basiu spojrz na to > dziekuje .