proszę o pomoc. Basia: a) Wykaż, że suma kwadratów dwóch kolejnych liczb naturalnych jest liczbą nieparzystą. b) wykaż, że suma sześcianów dwóch kolejnych liczb nieparzystych jest liczbą podzielną przez 4. c) Wykaż, żę podana nierówność jest prawdiwa dla dowolnych liczb dodatnich x i y. 1) 2xy<równe x²+y²

	x+y
2)		>równe √xy
	2

bezendu: 2xy≤x²+y² x²−2xy+y²≥0 (x−y)²≥0 c,n,w

x+y
	≥√xy /2
2

x+y≥2√2 /² (x+y)²≥4xy x²+2xy+y²−4xy≥0 x²−2xy+y²≥0 (x−y)²≥0

PW: Coś się późno bierzesz za pracę domową. 1) przenieś na jedną stroną i skorzystaj ze wzoru na kwadrat różnucy. 2) nierówność jest identyczna z 1), złośliwie zamienili x na √x i y na √y.

bezendu: n²+(n+1)² n²+n²+2n+1 2n²+2n+1 2n(n+1)+1 c.n.w

Antek: Ale tez w 2 masz srednia arytmetyczna i geometryczna i jakie one sa ?

Mila: Bezendu nie zaczynaj od tezy, gdy masz inne możliwości. 1) x,y∊R₊ (x−y)²≥0 dla x∊R⇔ x²−2xy+y²≥0 x²+y²≥2xy cnw 2)x,y∊R₊ (√x−√y)²≥0 dla x,y≥0 x−2√xy+y≥0 x+y≥2√xy /:2

x+y
	≥√xy
2

cnw średnia arytmetyczna większa lub równa od średniej geometrycznej.

Saizou : a można po prostu napisać że wynika to z nierówności o średnich am≥gm

bezendu: Mila czemu to jest źle ?

Mila: Właśnie masz to wykazać.

Saizou : bezendu ale wystarczy napisać, że dowód nie wprost: zakładam że teza jest fałszywa zatem

x+y
	<√xy
2

....... (x−y)²<0 co jest sprzecznością, zatem teza jest prawdziwa

Eta: Też tak można, tylko napisać odpowiedni komentarz do dowodu ad absurdum