Wielomian ciąg dalszy bezendu: Przy dzieleniu wielomianu W(x)=x⁴+px³+qx²+2 przez x−1 otrzymujemy resztę −1 zaś przy dzieleniu W(x) przez x+1 resztę 1 Wyznacz p i q W(1)=−1 i W(−1)=1 1+p+q+2=−1 1−p+q+2=1 p+q=−4 −p+q=−2 2g=−6 q=−3 p=−1 I teraz mam problem z tym zadaniem Przy dzieleniu wielomianu W(x)=x³+sx²+tx−5 przez wielomian Q(x)=x²+2 otrzymujemy resztę R(x)=x−3 Wyznacz wartości s i t

ICSP: w(x) = Q(x)*P(x) + R(x)

ICSP: pytanie zatem do Ciebie W jakiej postaci powinien być wielomian P(x) aby spełniał warunki powyższego zadania ?

PW: Z definicji − co to znaczy, że reszta jest równa (x−3)?

bezendu: Ten warunek znam ale nie wiem jak to zastosować do zadań tego typu

ICSP: no to wstaw swoje dane do warunku Potem zastanów się jakim wielomianem jest p(x) Wskazówka : Patrz na stopnie wielomianów

PW: Byłem zbyt ślamazarny − zanim zadałem pytanie, to ICSP już odpowiedział .

bezendu: ICSP nie wiem co tu wstawić ? ____ *(x²+2)+x−3

nina: R(x)= (t−2)x−5−2s i R(x)= x−3 odp s=1 , t=3

ICSP: po lewej stronie masz wielomian stopnia IV po prawej stronie masz iloczyn wielomianu pewnego stopnia z wielomianem stopnia II. Do tego iloczynu dodajesz wielomian stopnia I . Pytanie : Jaki powinien być stopień "wielomianu pewnego stopnia ". Oznaczyłem go wcześniej przez P(x)

bezendu: stopnia 1 ?

Mila: Podziel wielomian przez (x²+2) i otrzymaną resztę porównaj z (x−3) t=3 s=−1

ICSP: (x−a)(x² + 2) + x−3 ma stopień IV ?

bezendu: Mila Czy mogę Cię prosić o zadanie tego typu na jutro ? Wtedy jak dałaś mi te zadania od razu zrozumiałem z Twoją i Ety pomocą

bezendu: Nie, wiec powinien być stopnia 2

ICSP: więc powinien być stopnia II Zapisz teraz wielomian stopnia II matematycznie. Potem wymnóż i porównaj współczynniki. Dostaniesz układ równań

ZKS: ICSP chyba bezendu chodzi o to zadanie na dole co jest stopnia III.

nina: s= −1, t=3

bezendu: ZKS tak chodzi mi o to zadanie na dole

Mila: poszukam. JUż rozwiążę, to zrozumiesz. (x³+sx²+tx−5) : (x²+2)= x+s −(x³+2x) =========== = sx²+tx−2x−5 −(sx²+2s) ================= = −2s+tx−2x−5 to jest reszta porządkuję: R(x)=x(t−2)−2s−5 reszta z dzielenia R(x)=x−3 reszta z treści x−3=x(t−2)−2s−5 t−2=1⇔t=3 −2s−5=−3⇔−2s=2⇔s=−1 w(x)=x³−x³+3x−5 sprawdź czy po podzieleniu otrzymasz resztę (x−3)

ZKS: W(x) = Q(x) * P(x) + R(x) W(x) − R(x) = Q(x) * P(x)

W(x) − R(x)
	= Q(x)
P(x)

x3 + sx2 + tx − 5 − x + 3
	= Q(x) [musi to być wielomian bez reszty więc
x2 + 2

x3 + sx2 + (t − 1)x − 2
	będzie się dzieliło bez reszty]
x2 + 2

x + s _________________ x³ + sx² + (t − 1)x − 2 : x² + 2 −x³ − 2x −−−−−−−−−−−−−− sx² + (t − 3)x − 2 −sx² − 2s −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− t − 3 = 0 ⇒ t = 3 −2 − 2s = 0 ⇒ s = −1 W(x) = x³ − x² + 3x − 5

nina: (x³ +sx²+tx−5) : (x²+2)= x + s −x³−2x −−−−−−−−−− = sx²+(t−2)x −5 −sx² −2s −−−−−−−−−−−−−−−− = (t−2)x −5−2s = R =x−3 ⇒ t−2=1 i −5−2s= −3

bezendu: Mila po podzieleniu wychodzi reszta x−3 Dziękuje wszystkim Do jutra

nina:

Mila:

Mila: Zadania dla Bezendu 1) Reszta z dzielenia W(x)=4x³−5x²−23x+m przez dwumian (x+1) jest równa 20. Oblicz m oraz pierwiastki W(x). 2)* Jednym z pierwiastków wielomianu W(x), stopnia trzeciego jest liczba 1, a suma pozostałych dwóch pierwiastków jest równa 0. Do wykresu wielomianu należy punkt(3,1).wiedząc,że reszta z dzielenia W(x) przez dwumian (x−2) jest równa −2. Wyznacz wzór tego wielomianu.

bezendu: Zadanie 1 W(−1)=20 −4−5+23+m=20 m=6 W(x)=4x³−5x²−23x+6 W(3)=0 W(x)=(x−3)(4x²+7x−2) (x−3)(4x²+7x−2)=0

	1
(x−3)(x+2)(x−		)=0
	4

	1
x=3⋁ x=−2 ∨ x=
	4

bezendu: Zadanie 2 zapisałem takie coś a+b+c=0 27a+9b+c=1 8a+4b+c=−2

Piotr 10: W zadaniu 2 skorzystaj ze wzorów Vieta dla trzeciego stopnia

Mila: Zadanie 1) Dobrze. zadanie 2 staraj się bez wzorów Viete'a dla 3 stopnia. ( na maturze zapomnisz a nie ma w tablicach). To jest zadanie z matury próbnej. Co powiesz o dwóch pierwiastkach, jeżeli ich suma wynosi 0? Skorzystaj z postaci iloczynowej wielomianu ( ma 3 pierwiastki).

bezendu: Jeżeli ich suma wynosi zero to są to liczby przeciwne i to wynika np z x²−9 ?

Mila: (x−p)*(x+p)

bezendu: Mila czyli te warunki z godziny 16:38 są złe ?

Mila: W(x)=ax³+bx²+cx+d dlaczego przyjąłeś, że współczynnik przy x³ jest równy 1?

bezendu: Racja czyli teraz mam a+b+c+d=0 27a+9b+3c+d=0 8a+4b+2c+d=−2

Mila: Dlaczego środkowy warunek =0? Skorzystaj z postaci: w(x)=a(x−1)*(x−p)*(x+p) p− pierwiastek

bezendu: Pomyłka, środkowy warunek =1 a(3−1)(3−p)(3+p)=1 tak ?

Mila: Dalej,..

bezendu: 2a(9−p²)=1/2

	1
a(9−p2)=
	2

	1
9a−ap2=		o to chodzi ?
	2

Mila: Ułóż równania podstawiając do wzoru W(x)=a(x−1)*(x−p)*(x+p) w(2) W(3) następnie oblicz p i a potem przedstaw wielomian w postaci ogólnej

bezendu: a(3−1)(3−p)(3+9)=1 a(2−1)(2−p)(2+p)=0 2a(9−p²)=1 4−p²=0 p=2 lub p=−2 10a=1

	1
a=
	10

	1
W(x)=		(x−1)(x−2)(x+2)
	10

Mila: W(2)=−2 POpraw

bezendu: a(3−1)(3−p)(3+p)=1 a(2−1)(2−p)(2+p)=−2 2a(9−p²)=1 4−p²=−2 p²=6 p=√6 lub p=−√6 2a(9−6)=1 6a=1

	1
a=
	6

	1
W(x)=		(x−1)(x−√6)(x+√6)
	6

Mila:

bezendu: hmm to nie wiem gdzie jest błąd

Mila: a(3−1)(3−p)(3+p)=1⇔2a*(9−p²)=1 a(2−1)(2−p)(2+p)=−2⇔a*(4−p²)=−2⇔

2a(9−p2)		−1
	=
a(4−p2)		2

2*(9−p2)		−1
	=
(4−p2)		2

4(9−p²)=p²−4 36−4p²=p²−4 5p²=36+4 p²=8 podstawiam a*(4−8)=−2 a*(−4)=−2

	1
a=
	2

	1
W(x)=		*(x−1)*(x2−8)
	2

Teraz wymnóż i uporządkuj, przeanalizuj błędy, które robiłeś. Jak tam klasówka?

bezendu: Klasówka jest przełożona za tydzień, nawet dobrze bo jeszcze będę mógł poćwiczyć i się pouczyć, a na lekcji mam reguła mnożenia, rzut kostką (drzewko)

Eta:

bezendu: Witaj Eta to drzewko jednak wyglądało trochę inaczej (3 rzuty kostką ) wiec za mało gałęzi

Eta: Ja nie znoszę drzewek w \doświadczeniach jednoetapowych Jedynie w doświadczeniu wieloetapowym

Saizou : ale na drzewkach rosną jabłka

bezendu: Ale tylko było pokazane że można zrobić za pomocą drzewka moc zbioru A razy moc zbioru B

Eta: Swoją drogą, to bardzo ciekawe jak narysujesz "drzewko" z 216 gałązkami

bezendu: Dla chcącego nie ma nic trudnego

Eta: Szczególnie...... jak zaczniesz go "rysować" na maturze

bezendu: To są dopiero początki

Eta:

Piotr 10: Milla wzory Vieta dla wielomianów trzeciego stopnia są prawie analogicznie jak dla drugiego stopnia. Dla drugiego stopnia wzory Vieta mamy w tablicach w maturalnych

	b
10 x1+x2=−		; ax2 + bx + c, a≠0
	a

	b
x1+x2+x3=−		; ax3 + bx2 + cx + d , a≠0
	a

	c
20 x1 *x2=
	a

	c
x1*x2+x1*x3+x2*x3=		(Mnożenie przez siebie wszystkich pierwiastków)
	a

	d
30 x1*x2*x3=−		⇒ Ten wzór trzeba zapamietąć
	a

Więc, jest troszkę analogii ze wzorami Vieta dla drugiego stopnia, bynajmniej ja sobie tak to zapamiętałem