calka mm:

	x−1
∫		dx
	x3+2x2+1

M:

Mariusz: Tutaj należałoby zbadać liczbę rzeczywistych pierwiastków mianownika Załóżmy że mamy jeden pierwiastek rzeczywisty (To trzeba sprawdzić) Dzielimy wielomian x³+2x²+1 przez dwumian x − λ x² + (2+λ)x + (2λ + λ²) (x³+2x²+1) : (x − λ) −(x³ − λx²) (2+λ)x² −((2+λ)x² − λ(2+λ)x) (2λ + λ²)x + 1 −((2λ + λ²)x − λ(2λ + λ²)) 1 + 2λ² + λ³ x³+2x²+1 = (x − λ)(x² + (2+λ)x + (2λ + λ²)) Prognozujemy rozkład na sumę ułamków prostych

A		Bx+C		x − 1
	+		=
x − λ		x2 + (2+λ)x + (2λ + λ2)		(x − λ)(x2 + (2+λ)x + (2λ + λ2))

A(x² + (2+λ)x + (2λ + λ²)) + (Bx+C)(x − λ) = x − 1 A(x² + (2+λ)x + (2λ + λ²)) + B(x² − λx)+C(x − λ) = x − 1 (A+B)x² + ((2+λ)A − λB + C)x + ((2λ + λ²)A − λC) = x − 1 A + B = 0 (2+λ)A − λB + C = 1 (2λ + λ²)A − λC = −1 B = −A (2+λ)A + λA + C = 1 (2λ + λ²)A − λC = −1 B = −A (2+2λ)A + C = 1 (2λ + λ²)A − λC = −1 B = −A C = 1 − (2+2λ)A (2λ + λ²)A − λ(1 − (2+2λ)A) = −1 B = −A C = 1 − (2+2λ)A ((2λ + λ²) + λ(2+2λ))A = −1 + λ B = −A C = 1 − (2+2λ)A (3λ² + 4λ)A = λ−1

	λ − 1
A =
	3λ2 + 4λ

	λ − 1
B = −
	3λ2 + 4λ

	λ2 + 4λ + 2
C =
	3λ2 + 4λ

λ − 1		1
	∫		dx
3λ2 + 4λ		x−λ

	1		(λ − 1)x + (λ2 + 4λ + 2)
−		∫		dx
	3λ2 + 4λ		x2 + (2+λ)x + (2λ + λ2)

λ − 1		1
	∫		dx
3λ2 + 4λ		x−λ

	1		(λ − 1)x + (λ2 + 4λ + 2)
−		∫		dx
	3λ2 + 4λ		λ   λ2   (x+(1+ ))2 − (1+λ+ )+2λ+λ2))   2   4

λ − 1		1
	∫		dx
3λ2 + 4λ		x−λ

	1		(λ − 1)x + (λ2 + 4λ + 2)
−		∫		dx
	3λ2 + 4λ		λ   3   (x+(1+ ))2 −1+λ+ λ2))   2   4