zadanie Karolina: Cześć. Mógłby ktoś mi pomóc z jedną całką? ∫xarctg²xdx co wziąć pod u, a co pod v' Mam problem z tego typu całkami, byłabym wdzięczna, gdyby ktoś mi pomógł

Karolina: bardzo prosze

PW: Pozbywać się tego arcusa, bo paskudny ci jest. Dlatego trzeba przyjąć x=u' i (arctgx)²=v. Napisz co otrzymałaś

Karolina: Myślałam, że to odwrtonie będzie, nie wiem jak wyliczyć całkę z tego

PW: A jeszcze raz przez części na tej samej zasadzie? Napisz, co otrzymałaś po pierwszej operacji.

wredulus_pospolitus: "Karolina: Myślałam, że to odwrtonie będzie, nie wiem jak wyliczyć całkę z tego" a znasz całkę z arctg²x nie no to musi być tak jak PW napisał

Karolina: Już szału dostaje Całki mi się śnią po nocach. Idę się dotlenić trochę, pobiegać, a później wam napiszę co mi wyszło

PW: Karolino, nie podchodź emocjonalnie. Całki to trudny temat dla twardych mężczyzn. Po 200 niebanalnych zrobionych samodzielnie będziesz tu z uśmiechem na gębie udzielała porad innym nieszczęśnikom.

Karolina: no to tak, z tej całki ∫arctg²x wyszło mi

	1
xarctg2x−∫2xarctgx*		dx i teraz co muszę zrobić? znowu przez częćci?
	1+x2

Mila: Karolinko, nie denerwuj się, Panowie rozwiążą .

Mila: Albo ja.

Adam: Mila, jak będziesz mieć chwilkę to możesz spojrzeć na moje zadanie?

Karolina: byłabym wdzięczna

Mila: Karolino, pisać?

Mila:

	2arctgx		1
[arctg2x=u,		dx=du, dv=x dx, v=∫x dx=		x2]
	1+x2		2

	1		x2arctgx
∫x arctg2x dx=		x2*arctg2x−∫		dx=...
	2		1+x2

	1		x2
[arctgx=u,		dx=du, dv=		dx,
	1+x2		x2+1

	x2		x2+1−1		1
v=∫		dx= ∫		dx=∫dx−∫		dx=x−arctgx]
	x2+1		x2+1		x2+1

	1		x−arctgx
....=		x2*arctg2x−(arctgx*(x−arctgx)−∫		dx=
	2		1+x2

	1		x−arctgx
=		x2*arctg2x−xarctgx+arctgx+∫		dx=
	2		1+x2

	1		x		arctgx
=		x2*arctg2x−xarctgx+arctgx+∫		dx−∫		dx=
	2		1+x2		1+x2

	1		1		arctgx
=		x2*arctg2x−xarctgx+arctg2x+		ln(1+x2)−∫		dx=...
	2		2		1+x2

	1
[ostatnia całka podstawienie arctgx=t,		dx=dt,
	1+x2

	arctgx		1		1
∫		dx=∫t dt=		t2=		arctg2x} ]
	1+x2		2		2

dokończ wynik:

1		1
	(x2+1)arctg2x−xarctgx+		ln(1+x2)+C
2		2

Karolina: dziękuję bardzo zaraz to sobie wszystko przeanalizuję