Czy działanie jest grupą i grupą abelową Jola: Sprawdzić czy podane działanie jest grupą, grupą abelową: a) x◯y = (x₁+y₁ , x₂+2y₂) w zbiorze G=R² , x=(x₁,x₂), y=(y₁,y₂) b) x◯y = (x₁+y₁+1 , x₂+y₂) w zbiorze G=R² , x=(x₁,x₂), y=(y₁,y₂)

Jola: Wiem, że odpowiedź do a brzmi "nie", a do b "tak", ale niestety nie wiem, jak to rozwiązać.

PW: Definicje! Grupa i działanie to różne pojęcia, nie można pytać, czy działanie jest grupą. a) działanie nie jest łączne. Wystarczy pokazać na przykładzie: ((1,2)◯(3,4))◯(1,1)=(1+3,2+2•4)◯(1,1)=(4,10)◯(1,1)=(5,12) (1,2)◯((3,4))◯(1,1)=(1,2)◯(4,6)=(5,14) Matematyk wolałby pewnie na symbolach, ale to nie polepszy jakości dowodu, że działanie nie jast łączne.

Godzio: Kiedy mamy do czynienia z grupą ? Muszą być spełnione następujące warunki: 1. Działanie jest łączne 2. Istnieje element neutralny 3. Istnieje element odwrotny Dodatkowo jeśli działanie jest przemienne, otrzymujemy grupę abelową. a) x◯y = (x₁ + y₁, x₂ + 2y₂) 1. (x◯y)◯z = (x₁ + y₁,x₂ + 2y₂)◯z = (x₁ + y₁ + z₁, x₂ + 2y₂ + 2z₂) I już widać, że nie otrzymamy tego samego co w przypadku x◯(y◯z) = (x₁ + y₁ + z₁,x₂ + 2y₂ + 4z₂) (o ile się nie pomyliłem Należy wskazać kontrprzykład, no to weźmy: x = (0,0), y = (0,1), z = (0,1) wtedy (x◯y)◯z = (0,2)◯(0,1) = (0,4) x◯(y◯z) = (0,0)◯(0,3) = (0,6) Czyli nie jest to grupa, b) Sprawdźmy sobie najpierw przemienność: x◯y = (x₁ + y₁ + 1,x₂ + y₂) = (y₁ + x₁ + 1,y₂ + x₂) = y◯x Dalej po kolei 1. (x◯y)◯z = (x₁ + y₁ + 1,x₂ + y₂)◯(z₁,z₂) = (x₁ + y₁ + 1 + z₁ + 1,x₂ + y₂ + z₂) = (x₁ + (y₁ + z₁ + 1) + 1,x₂ + (y₂ + z₂) ) = = (x₁,x₂)◯(y₁+z₁ + 1,y₂ + z₂) = x◯(y◯z) − ok. 2. e◯x = x ⇔ (e₁ + x₁ + 1,e₂ + x₂) = (x₁,x₂) ⇔ e₁ + x₁ + 1 = x₁ i e₂ + x₂ = x₂ ⇔ e₁ = −1, e₂ = 0, stąd e = (−1,0) 3. x⁻¹◯x = e ⇔ (x₁⁻¹ + x₁ + 1, x₂⁻¹ + x₂) = (−1,0) ⇔ x₁⁻¹ + x₁ + 1 = −1 i x₂⁻¹ + x₂ = 0 ⇔ x₁⁻¹ = −2 − x₁ i x₂⁻¹ = −x₂ stąd x⁻¹ = (−2−x₁,−x₂) Ponieważ mamy przemienność, nie musimy sprawdzać jak się zachowują na odwrót (tzn. x◯e i x◯x⁻¹)

Jola: Dzięki!

Oliwier: G= R kwadrat, a element odwrotny i neutralny muszą przecież należeć do zbioru G, czy nie jest więc tak, że system algebraiczny z drugiego przykładu nie jest grupą?

ite: Takie są właśnie wnioski Godzia, zbiór i działanie z pkt b/ spełniają warunki i tworzą grupę abelową.

ite: G=R² to zbiór uporządkowanych par liczb rzeczywistych. − element neutralny Skoro e = (−1,0), to ta para należy do G. − element odwrotny Jeśli mamy dwie dowolne liczby rzeczywiste np. x₁, x₂, to liczby do nich przeciwne −x₁, −x₂ również są l.rzeczywistymi, tak samo jak liczba −2−x₁ zawsze będzie liczbą rzeczywistą. Czyli każda para (−2−x₁,−x₂) należy do G.