Całka podwójna Rick: Cześć. Mam problem z pewną całką podwójną ∫∫(x−1)dxdy liczoną po obszarze D: 0≤r≤2cosφ −^π₂≤0≤^π₂ Wiadomo zamieniamy na współrzędne biegunowe lecz mam problem obliczyć tę 1 całke nieoznaczoną a co za tym idzie poźniej oznaczoną w tych zmiennych granicach. Mógłby ktoś pomóc w tym początku tego zadania? Z góry dziękuje

Krzysiek: skorzystaj z podstawowych wzorów, najpierw całkujesz względem 'r'

Rick: Tak wiem że względem r, to jest ta pierwsza całka nieoznaczona ∫rcosφ−rdr i dalej rozbijam na różnicę całek i cosφ przed ta pierwszą całkę? tak to powinno wyglądac?

Rick: Z tym cosφ przed całke chodziło mi że to jako stała bo całkuje po r

Krzysiek: nie wiem czemu akurat tu musisz korzystać z biegunowych... ale jeżeli już trzeba to nie możesz zapominać o jakobianie. |J|=r ∫∫(x−1)dxdy=∫_−π/2^π/2∫₀^2cosφ (rcosφ−1)|J|drdφ=∫_−π/2^π/2cosφ i tak rozbijasz na różnicę dwóch całek i rozdzielasz zmienne.

Krzysiek: nie patrz na ostatnią równość którą napisałem

Rick: Z biegunowych korzystam ponieważ licze po kole, może wogole źle opisałem obszar. Całkę podwójną z 1 posta liczę po kole x²+y²≤2x

Krzysiek: x²+y²−2x≤0 (x−1)²+y²≤1 mogłeś użyć takiego podstawienia(myślę,że ułatwiło by to obliczenia choć i tak zadanie nie jest trudne): x=rcosα+1 y=rsinα i zapewne taka wskazówka była umieszczając w funkcji podcałkowej: (x−1)

Rick: Ale to moje podstawienie tez dobre? Liczę tą pierwszą całkę nieoznaczoną : ∫(rcosφ−1)rdr= ∫r²cosφ−rdr=2cosφ∫r²dr−∫rdr ? bo już sie kurcze zmieszałem i widac mam problem z najprostszymi rzeczami

Krzysiek: podstawienie ok, co do tej równości to bez tej "2". no i ile wynosi całka ∫r²dr ?

Rick: wyciągnięty jest cosφ nie 2cosφ oczywiście

Rick: ∫r²dr=¹₃r³ +C

Krzysiek: no ok, podobnie ∫rdr=r²/2 i liczysz całki oznaczone a potem całkę po 'φ'

Rick: Nie no poddaje sie, chyba nie myśle już, robie sobie to tak(już po tych przekształceniach z poprzednich postów):cosφ¹₃r³−¹₂r² podstawiam jako do całki oznaczonej (cosφ¹₃r³−¹₂r² )^2cosφ₀=^8cosφ4₃−2cosφ² dalej licze całke nieoznaczona po dφ czyli wychodzi mi tak: ⁸₃ ∫cosφ⁴dφ −2∫cosφ²dφ no i wychodzi liczenie całki np. cosφ⁴ ona nie jest raczej łatwa. Może ktoś pomóc i przedstawic rozwiązanie? Nie wiem poprzez pisanie tutaj albo wygodniej na kartce i jakies zdjęcie moze sie da tu wstawić? Będę niezwykle wdzięczny

Krzysiek: możesz skorzystać z tego,że:

	cos2x+1
cos2x=
	2

Rick: A tak dobrze jest do tego momentu? że wychodza całki z ∫cosφ⁴dφ itp?