Oblicz granicę metodą de l'Hospitala SW: Hej, czy ktoś mógłby mnie naprowadzić jak zacząć to zadanie? Rozumiem, że w metodzie

	0		∞
l'Hospitala trzeba dążyć do uzyskania [		] lub [		], a następnie zrobić pochodne
	0		∞

licznika i mianownika i tak dalej. Jednak z tym mam wyjątkowy problem.

	2
lim (		* arctgx)x
	π

x −> ∞

Krzysiek: skorzystaj z przekształcenia: a^b=e^blna i policz granicę "blna" (korzystając z ciągłości funkcji wykładniczej)

pigor: tu masz nieoznaczoność [1]^∞, dlatego z danej granicy powinieneś "zrobić" np. granicę typu e= lim _x→∞ (1+f(x))^{1/ f(x)} . ...

SW:

	2
Czyli x * ln(		* arctgx) racja? Wtedy podstawiając ∞ pod x, co wychodzi z arctgx?
	π

SW: Pigor, nie słyszałem o tym sposobie w kontekście l'Hospitala. Polega to na tym samym, co próbuje wytłumaczyć mi Krzysiek? Skąd wtedy 1?

SW:

	π
Odnoszę się do pomysłu Krzyśka. A czy to nie jest tak, że arctg ∞ wynosi		i to daje 1?
	2

Wtedy ∞ * ln1 = [∞ * 0] ?

Mila:

	2
f(x)=(		*arctgx)x
	π

e^ln(f(x)=e^{xln(2_π*arctgx)} lim_x→∞e^{xln(2_π*arctgx)} =e^{lim_x→∞xln(2_π*arctgx)} Z powodu nieczytelności zapisu ograniczę się do obliczenia granicy wykładnika:

	ln(2π*arctgx)
limx→∞xln(2π*arctgx)=limx→∞		=
	1   x

	(ln(2π*arctgx))'
=Hlimx→∞		= licz, po kolacji sprawdzę, ewentualnie
	1   ( )'   x

dokończę =e^−2_π

pigor: ..., tak masz rację, moje podejście jest do metody nie l'Hospital'em. a co do reguły H to ...= lim _x→∞ e ^{x ln ( 2_π arctgx)}= e ^{lim _x→∞ f(x)} ,

	ln ( 2π arctgx)
gdzie lim x→∞f(x)= lim x→∞		= [00]=H=
	x−1

	(ln ( 2π arctgx))'
= lim x→∞		= i licz pochodne licznika /mianownika .
	(x−1)'

pigor: ..., o Mila nie widziałem i już wyłączam się ...

SW: więc wychodzi mi, po policzeniu pochodnych

1		1
	/ (−		) przy czym główną kreską ułamkową jest /. Czyli wychodzi
arctgx * (x2+1)		x2

	0
[		]
	0

SW: i dalej mam liczyć pochodne? Dzięki za zaangażowanie Mila, pigor, Krzysiek

pigor: ..., czyli

−x2		∞
	= [		] ,,,, no to jeszcze raz H, a może i więcej . ...
(1+x2)arctgx		∞

Mila: Trochę inaczej, kończę swój post. Liczę pochodną licznika i mianownika.

	π   2   * 2arctg(x)*(1+x2)   π
lim{x→∞}		=
	−1   x2

	−x2		−1		−2
=lim{x→∞}		=		=
	(x2+1)*arctg(x)		π   2		π

lim_x→∞ f(x)=e^−2_π

SW: Yeah, zabawy co niemiara! Dzięki, liczę dalej

Mila:

	−x2
Limx→∞		=−1 (dzielisz licznik i mianownik przez x2)
	x2+1

SW: Mila próbuję iść Twoim tokiem rozumowania ale chyba nie wiem jak do tego doszłaś, od momentu postu z 20:47. Postanowiłem zrobić tak, jak pigor podpowiada i po kolejnym H

	−2x
doszedłem do		. Co o tym myślicie? Jest sens dalej w to brnąć? Jeszcze
	1 + 2xarctgx

jutro spróbuję rozszyfrować Milę, póki co jeszcze raz dziękuję za pomoc

Mila: W którym momencie masz trudności?

SW: Nie wiem skąd się wziął zapis w poście z 20:47, że π pojawiło się w liczniku, a właściwie to w liczniku licznika

Trivial: Można również skorzystać ze wzoru: lim_f(x)→0 [1 + f(x)]^g(x) = lim_f(x)→0 e^f(x)*g(x) Najpierw doprowadzamy wyrażenie do odpowiedniej postaci:

	2		2
(		arctg(x))x = [1 + (		arctg(x) − 1)]x
	π		π

	2
Zatem, ponieważ (		arctg(x) − 1) → 0 przy x→∞ (pomijam x→∞ dla czytelności):
	π

	2
g = lim (		arctg(x))x = lim ex*[(2/π)arctg(x) − 1]
	π

Teraz policzmy granicę wykładnika:

	2		(2/π)*arctg(x) − 1
lim x*[		arctg(x) − 1] = lim
	π		1/x

	2	1   1+x2		2	x2		2
=H= lim			= lim −			= −		.
	π	1   −   x2		π	1+x2		π

Czyli g = e^−2/π

Mila:

	2		1		2
(ln(		*arctgx))'=		*(		*arctgx))'=...dokończ
	π		2   *arctgx π		π

SW: Mila dokańczam i wychodzi mi tak

	1		2		1		1
=		*		*		=
	2π * arctgx		π		1 + x2		arctgx * (1 + x2)

co o tym myślisz? Nie jestem orłem z matematyki, więc może gdzieś popełniłem błąd... Trivial dzięki za pomoc, faktycznie jest rozwiązanie ale tego sposobu chyba nie miałem, czy to jest na pewno d'Hospital?

Mila: No i pięknie, to jest pochodna licznika, dalej...czekam.