Całka nowy: taką całkę za ciul nie mogę ruszyć w pewnym momencie, jak tu podstawiać, ktoś pomoże? ∫x²*√2−x²dx

asdf: przez czesci probowales/as?

nowy: przez części próbowałem, i nie do końca wiem jak wyprowadzić z ∫xarcsin(x/√2) dx ale i tak nie wiem czy i do tej pory dobrze robiłem

ada: czy to będzie tak ? u= 2−x² v= x²

	1
u'=−2x v=		x3
	3

nowy: w sensie co jest całką z tego arcusa

nowy: ada, a można tak pomijać pierwiastek?

Rafał28: Metoda współczynników nieoznaczonych:

	x2(2−x2)		−x4 + 2x2
∫x2√2 − x2dx = ∫		dx = ∫		dx =
	√2 − x2		√2 − x2

	Tdx
=(Px3 + Qx2 + Rx + S)√2 − x2 + ∫		dx
	√2 − x2

Różniczkujemy obustronnie i mnożymy przez √2 − x². Mamy: −x⁴ + 2x² = (3Px² + 2Qx + R)(2−x²) + (Px³ + Qx² + Rx + S)(−x) + T Porządkujemy: −x⁴ + 2x² = P(−4x⁴ + 6x²) + Q(−3x³ + 4x) + R(−2x² + 2x) + S(−x) + T Lewa strona musi się równać prawej. Rozwiązujemy układ równań:

⎧	−4P = −1
⎜	−3Q = 0
⎨	6P − 2R = 2
⎜	4Q − S = 0
⎩	2R + T = 0

⎧	P= 14
⎜	Q = 0
⎨	R = −14
⎜	S=0
⎩	T = 12

Wracamy do całki:

	−x4 + 2x2
∫x2√2 − x2dx = ∫		dx = ( 14x3 − 14x)√2 − x2 +
	√2 − x2

	dx
+ 12 ∫
	√2−x2

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

	dx		1		dx
12 ∫		=		∫		=...
	√2−x2		2√2		√1 − (x/√2)2

	x
Podstawienie t =
	√2

	dx
dt =
	√2

dx = √2 dt

	dt		x
...= 12 ∫		= 12 arcsin t + C = 12 arcsin (		) +
	√1 − t2		√2

C, czyli nasza główna całka wynosi:

	x
∫x2√2 − x2dx = ( 14x3 − 14x)√2 − x2 + 12 arcsin (		) + C
	√2

nowy: dzięki za pomoc! doceniam