Równanie różniczkowe poprzez Transformatę Laplace'a Miecio: Witam. Mam obliczyć równanie różniczkowe za pomocą transformaty Laplace'a : y"−6y'+13y=0 dla warunków początkowych y(0)=0 i y'(0)=6

	6
Po użyciu wzorów dochodzę do postaci : F(s)=		Tutaj sie obliczało oryginał tego
	s2−6s+13

wyrażenia, często przez rozkład na ułamki proste, jednak tutaj nie da sie rozłozyc mianownika. Pomoże ktoś jak to ugryźć? Z góry dziękuje bardzo

wredulus_pospolitus: no a jak byś to obliczył bez rozkładu na ułamki proste wskazówka: s² − 6s + 13 = s² − 2*3s + 9 +4 = .....

Trivial:

	6		2
F(s) =		= 3*
	s2−6s+13		(s−3)2+22

f(t) = 3e^3tsin(2t). Można też policzyć korzystając z residuów, a konkretniej ze wzorku: f(t) = ∑ res_s=sk[F(s)e^st] Sumę dwóch residuów dla pierwiastka zespolonego sprzężonego można policzyć szybko ze wzoru: 2*Re(res_s=sk[F(s)e^st]) Gdzie s_k jest jednym z pierwiastków zespolonych sprzężonych (wybieramy dowolnie który). A zatem:

	6		6
F(s) =		=
	s2−6s+13		[s−(3+2i)][s−(3−2i)]

	6
f(t) = 2*Re(ress=3+2i[		est])
	[s−(3+2i)][s−(3−2i)]

	6
= 2*Re(		e(3+2i)t)
	3+2i−3+2i

= −3Re[ie^3t(cos(2t)+isin(2t))] = 3e^3tsin(2t).

Miecio: @ wredulus_pospolitus Dzięki za naprowadzenie totalna moja nieuwaga i chyba na siłe chciałem sobe życie utrudniać a to takie proste było @Trivial Dzięki za taaaką wyczerpującą odpowiedź ale na residuum tym bardziej bym się nie porywał. Dzięki za pomoc

Trivial: Z residuów liczy się szybko, gdy stopień mianownika jest duży, albo mamy wielokrotne pierwiastki.