Geometria trójkąta Rafał28: Niech h_a, h_b i h_c oznaczają długości wysokości trójkąta, poprowadzone na boki o długościach odpowiednio: a, b, c. Wówczas zawsze istnieje trójkąt, którego boki mają długości: a) 2h_a, h_b i 3h_c; b) h_a, h_b i 2h_c;

	1		1		1
c)		,		,		.
	ha		hb		hc

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Odpowiedzi: a) Nie b) Nie c) Tak −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

	1		1		1
P =		aha =		bhb =		chc
	2		2		2

	2P		2P		2P
a =		, b =		, c =		,
	ha		hb		hc

Z nierówności trójkąta łatwo udowodnić, że odpowiedź do c) to prawda. Jak uzasadnić, że w przypadku a), b) nie da się zbudować trójkąta?

pigor:

	2S
... S= 12aha ⇒ ha=		itp.z wysokościami hb, hc
	a

i teraz badaj nierówność trójkąta .

Rafał28: Prawdziwe są nierówności trójkąta: a < b + c b < a + c c < a + b oraz po podstawieniu:

	2S		2S		2S
a =		b =		c =
	ha		hb		hc

1		1		1		1		1		1
	<		+				<		+
ha		hb		hc		hb		ha		hc

1		1		1
	<		+
hc		ha		hb

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Przypadek a) Po kilku przekształceniach otrzymuje

1		1		1		1		1		1
	<		+				<		+
a		2b		23c		b		12a		13c

1		1		1
	<		+
c		32a		3b

Co dalej?

pigor: ..., no to obalmy tezę (jej słowo "zawsze") przykładem np. takim: weźmy Δ prostokątny o przyprostokątnych a=1, b=4, to c=√17 , a wtedy h_a=b=4, h_b=a=1, h_c=^ab_c= ⁴_√17 ≈ 0,97, zatem z odcinków (2k_a,h_b,3hc)= (8,1,≈3) nie da sie zbudować Δ, bo h_b+3h_c< h_a ; analogicznie sprawdź, że z odcinków (h_a,h_b,2h_c) także nie da się ..., a więc wykazałem : nieprawda, że zawsze istnieje Δ o wysokościach jak w a), b) . ...