Wykaż bezendu: Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a,b,c zachodzi nierówność a²+b²+c²≥ab+bc+ac a²+b²+c²≥ab+bc+ac/ *2 2a²+2b²+2c²≥2ab+2bc+2ac a²+a²+b²+b²+c²+c²−2ab−2bc−2ac≥0 a²−2ab+b²+b²−2ac+c²+a²−2ac+c²≥0 (a−b)²+(b−c)²+(a−c)²≥0 i teraz wystarczy napisać C.N.D Czy pisać jakiś komentarz ?

zuzka: c.n.d.

bezendu:

bezendu: Wykaż, że jeśli a i b są dowolnymi liczbami rzeczywistymi nieujemnymi to spełniona jest nierówność

a+b
	≥√ab podane jeszcze jest przypadek szczególny nierówność Cauchy'ego
2

a+b
	≥√ab /2
2

a+b≥2√ab /² (a+b)²≥4ab a²+2ab+b²−4ab≥0 a²−2ab+b²≥0 (a−b)²>0 ale o co chodzi z tą nierówności Cauchy'ego ?

Saizou : nierówność Caychy'ego o średniego mówi, że śr_kwadratowa≥śr._{arytmetycznej}≥śr._kwadratowej≥śr._harmonicznej

bezendu: Saizou czyli mój dowód jest źle ? Mógłbyś to rozwiązać za pomocą tej nierówności Cauchy'ego ?

asdf: o tej nierownosci w szkole sredniej nie ma, wiec nie wiem po co ten komentarz.

Saizou : no i jeszcze możesz napisać tam gdzie podnosisz do kwadratu tekst "bo a,b≥0"

bezendu: @asdf tak jest w treści zadania

bezendu: Saizou w poleceniu mam że a i b są rzeczywistymi nieujemnymi

Saizou : ale taki zapis daje sprawdzającemu wiedzę, że robisz to świadomie, przynajmniej mnie tak uczono, a dowód poprawnie

asdf: mozna tez zauważyć, jeżeli: a, b > 0, to: a = (√a)² b = (√b)² i jeżeli: (√a − √b)² = (√a)² − 2⁴√ab + (√b)² ≥ 0 to (√a)² − 2√ab + (√b)² ≥ (√a)² − 2⁴√ab + (√b)² ≥ 0

asdf: sorry, powinno być tak: (√a)² − 2⁴√ab + (√b)² ≥ (√a)² − 2√ab + (√b)² ≥ 0

bezendu: jednak wolę swoją wersję

Saizou : można było od razu zwinąć (√a−√b)²≥0 a−2√ab+b≥0

a+b
	≥√ab
2

zuzka: Co Ty też asdf wymyśliłeś? (√a−√b)²= a+b −2√ab ( skąd ten pierwiastek ⁴√.... ? dowód: (√a−√b)²≥0 a+b −2√ab≥0 a+b≥ 2√ab / :2

a+b
	≥ √ab
2

c.n.d

asdf: nie wiem skąd mi sie to wzielo ide na mecz...tamto lepsze

Mila: Bezendu, zaproś grzecznie Etę na forum , a wszystko będzie dla Ciebie jasne.

bezendu: Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich a,b,c takich że a+b+c=1 zachodzi nierówność (1−a)(1−b)(1−c)≥8abc [(1−a)(1−b)](1−c)≥8abc a=1−b−c (1−b−a+ab)(1−c)−8abc≥0 1−c−b+bc−a+ac+ab−9abc≥0 1−c−b+bc−(1−b−c)+(1−b−c)c+(1−b−c)b−9(1−b−c)bc≥0 1−c−b+bc−1+b+c+c−bc−c²+b−b²−bc−(9−9b−9c)bc≥0 c−c²+b−b²−bc−(9−9b−9c)bc≥0 c−c²+b−b²−bc−9bc+9b²c+9bc²≥0 c−c²+b−b²−10bc+9b²c+9bc²≥0 c−c²+b−b²−12bc+2bc+9b²c+9bc²≥0 −c²−b²+2bc+c+b−12bc+9b²c+9bc²≥0 (−c−b)²+c+b−12bc+9b²c+9bc²≥0 Nie wiem jak to dalej ruszyć

bezendu: @Mila, Ety na forum od 4 dni już nie widziałem

Mila: a,b,c∊R₊ a+b+c=1 (√a−√b)²≥0⇔a−2√ab+b≥0 (√a−√c)²≥0⇔a−2√ac+c≥0 (√b−√c)²≥0⇔b−2√bc+c≥0⇔ a+b≥2√ab a+c≥2√ac b+c≥2√bc mnożę stronami (są dodatnie) (a+b)*(a+c)*(b+c)≥8√a²b²c² dokończ

bezendu: Mila czyli moje rozwiązanie jest złe ?

Mila: Ja nie wiem jak z tego Twojego gąszcza otrzymać tezę. Dokończ mój dowód .

Mila: Ponadto wychodź z założenia, własności ogólnie znanych, a Ty zakładasz tezę.

bezendu: (a+b)*(a+c)*(b+c)≥8√a²b²c² [(a+b)(a+c)](b+c)≥8√a²+b²+c² (a²+ac+ab+bc)(b+c)−8√a²b²c² a²b+a²c+abc+ac²+ab²+abc+b²c+bc²−8√a²b²c² a²b+a²c+2abc+ac²+ab²+b²c+bc²−8√a²b²c² dalej jak to zwinąć ?

Mila: i po co to robisz? Mamy: (a+b)*(a+c)*(b+c)≥8√a²*b²*c²⇔ (1*) (a+b)*(a+c)*(b+c)≥8a*b*c Korzystając z założenia, że a+b+c=1 mamy a+b=1−c a+c=1−b b+c=1−a stąd podstawiając do (1*) (1−c)*(1−b)*(1−a)≥8a*b*c⇔ (mnożenie jest przemienne) (1−a)*(1−b)*(1−c)≥8a*b*c Cnw

Mila: Dobranoc. Jutro popracujemy.

bezendu: Mila mogłabyś jeszcze raz wytłumaczyć mi to zadanie ?

Mila: Od jakiego miejsca tłumaczyć, zadaj pytanie.

bezendu: post 00:06 Czemu tego się nie mnoży ?

Mila: Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich a,b,c takich że a+b+c=1 zachodzi nierówność (1−a)(1−b)(1−c)≥8abc Masz wykazać prawdziwość nierówności, z lewej strony masz iloczyn, ja chcę wykazać , że iloczyn jest większy lub równy 8abc. jeśli wymnożę z lewej strony, to będę miała trudności w oszacowaniu sumy o dodatnich i ujemnych składnikach. 1) Zauważam, że 1−a=b+c ( założenie :a+b+c=1) 1−b =a+c 1−c=a+b 2) korzystam z własności drugiej potęgi dwumianu, z tego, że a, b, c∊R₊: (chcę mieć po lewej :b+c,a+c,a+b) (√b−√c)²≥0⇔b−2√bc+c≥0 (√a−√c)²≥0⇔a−2√ac+c≥0 (√a−√b)²≥0⇔a−2√ab+b≥0 stąd mamy 3 nierówności: b+c≥2√bc a+c≥2√ac a+b≥2√ab obie strony wszystkich nierówności są dodatnie , w tym samym kierunku,mnożę stronami (b+c)*(a+c)*(a+b)≥2*2*2√a²*b²*c²⇔ (b+c)*(a+c)*(a+b)≥8abc podstawiam (1−a)(1−b)(1−c)≥8abc cnw Na pewno można inaczej, ale tu wszystko jest jasne.

bezendu: Teraz już wszystko jasne Dziękuję

bezendu:

	a		a		a2		a2+b2
Wykaż, że jeśli		=		to		=		(a,b,c∊R i b,c≠0)
	b		c		b2		b2+c2

jak to zacząć ? co wyznaczyć z tego pierwszego równania ?

5-latek: Kupiles sobie ta ksiazke Udowodnij ze M Romanowskiej co CI mowilem zebys zakupil?

	a		b		b2
tam jest to zadanie tylko jest zalozenie		=		i wtedy a*c=b2 to c=
	b		c		a

Ty musisz jednak kombinowac jeslii dalesz takie zalozenie bo wyjdzie CI ac=ab

bezendu: Mam ale to zadanie jest z innej książki

Mila: Czy dobrze przepisałeś, w obu licznikach jest a?

Piotr 10: Właśnie, bo robię też te zadanie i coś mi tu nie gra w założeniu dochodzę do ac=b² i teraz

	a		b
jakby założenie było		=		to by się zgadzało
	b		c

bezendu: pomyłka przepraszam

a		b
	=		dalej już poprawnie
b		c

Piotr 10: To bezendu metodą na krzyż to zrób pomnóż te równanie drugie i Ci się skróci coś

Mila: b²=ac

	a2		a2		a
L=		=		=
	b2		ac		c

Z prawą stroną postępuj podobnie.

bezendu: b²=ac

a2		a2+ac
	=
ac		ac+c2

a		a(a+c)
	=
c		c(a+c)

a		a
	=
c		c

C.N.D

Saizou : można też zaprzeczyć tezie

a2		a2+b2
	≠
b2		b2+c2

a²(b²+c²)≠b²(a²+b²) (ab)²+(ac)²≠(ab)²+b⁴ (ac)²≠b⁴ ac≠b²

a		b
	≠		co jest sprzecznością z założeniem, zatem teza jest prawdziwa
b		c

bezendu: http://www.fotosik.pl/pokaz_obrazek/1d1cc84a75eb335c.html Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu wielomianu stopnia trzeciego W(x) Udowodnij algebraicznie, że wielomian jest funkcją nieparzystą Miejsca zerowe x=0 x=−3 x=3 f(x)=x(x²−9) f(−x)=−x[(−x)²−9]=−x(x²−9) −f(x)=−[x(x²−9)]=−x(x²−9) f(−x)=−f(x) wiec funkcja jest nieparzysta Tak ?

Saizou : W(x)=ax(x−3)(x+3) W(−x)=−ax(−x−3)(−x+3)= −ax(x+3)(x−3) −W(x)=−ax(x+3)(x−3) W(−x)=−W(x) wiec wielomian jest funkcją nieparzystą

bezendu: A mój sposób ?

Saizou : a skąd wiesz jaki jest współczynnik a ?

bezendu: Racje wiem tylko że współczynnik a jest dodatni

Saizou : ale poza tym to dobrze, przynajmniej ja nie widzę błędu

bezendu: Wiadomo, że wielomian W(x) przy dzieleniu przez x−1 daje resztę 4 zaś przy dzieleniu przez x+2 daje resztę 1. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W(x) przez (x−1)(x+2) Mógłby ktoś wytłumaczyć mi to zadanie krok po kroku ?

bezendu: Mila jesteś jeszcze ?

mars: Hej bezendu Przywiozłam takie zadania z samiuśkich Tatr 1/ Wykaż,że dla dodatnich liczb rzeczywistych a, b,c takich ,że a+b+c=1 zachodzi nierówność:

	1		1		1
(1+		)(1+		)(1+		)≥ 64
	a		b		c

	1		1
2/ Wykaż,że jeżeli liczby x≠0 i y ≠0 i		−		=x−y to x=y lub xy= −1
	x		y

	1
3/ wykaż, że jeżeli a< −2 −b>
	2

to zachodzi nierówność 2ab <a+2 −4b

mars: poprawiam zapis:

	1
3/ a<−2 i b>
	2

Saizou : mogę zadanko nr. 2

bezendu: Hey Eta Rzucisz okiem na zadanie 21:51 i zadanie 22:41 ?

bezendu: Zadanie 1 już dziś było podobne

mars: W(1)=4 i W(−2)= 1 R(x) = ax+b −−− jest stopnia co najwyżej pierwszego

Saizou : jak możesz dzielić

mars: W(x)= P(x)*Q(x) +R(x) , P(x)=(x−1)(x+2) , R(x)=ax+b W(1)= (1−1)(1+2)*Q(1) + a*1+b = 4 ⇒ ....... podobnie W(−2)=.................. ⇒ ..... i układ równań z "a" i "b" i R(x)=......... i koniec zadania

bezendu: Eta usuń mój post 22:56 zaraz poprawie bo tam jest pomyłka

mars: zad, 2/ źle

bezendu:

1		1
	−		=x−y
x		y

y−x
	=x−y
xy

y−x=x²y−xy² y−x=xy(x−y) xy(x−y)=−(x−y)

	−(x−y)
xy=
	x−y

xy=−1 Nie wiem czy tak innego pomysłu nie mam

Eta: Też źle xy(x−y) +(x−y)=0 (x−y)(xy+1)=0 teraz dokończ .........

Saizou : nie wolno dzielić ani nie szybko

Eta: Zapamiętaj ! ..... nie możesz dzielić przez (x−y )

Saizou : w sumie to można tylko trzeba jeszcze sprawdzić co by było gdyby x−y=0, i wtedy równanie xy(x−y)=−(x−y) jest spełnione wiec to też by trzeba było dorzucić do odpowiedzi

bezendu: ok czyli jak powinny wyglądać dwie ostatnie linijki ?

Eta: wtedy x=y to x−y=0 ( można dzielić przez 0 ?

Eta: czyt. 23 :03

Saizou : nie można ale zakładam że x−y≠0 i mogę podzielić, ale muszę sprawdzić co by było gdyby x−y=0

bezendu: Zadanie 3 2ab <a+2 −4b a+2−4b−2ab<0 a+2−2b(a+2)<0 (a+2)(1−2b)<0 C,N.D ?

bezendu: Nie jestem Heretykiem wiec przez 0 nie dzielę

Eta: 3/ napisz jeszcze uzasadnienie z założenia !

Eta: Pisz c.n.d (a nie C.N.D

bezendu: a+2<0 1−2b<0

	1
a<−2 ⋀ b>
	2

bezendu: a co to za różnica jak napiszę ?

Saizou : Ciąg Dalszy Nastąpi C.N.D

Saizou : a jednak nie poniosło mnie

Eta:

	1
Piszesz: z założenia mamy,że a<−2 ⇒ a+2<0 i b>		⇒ 2b −1>0
	2

iloczyn liczby ujemnej i dodatniej jest ujemny c.n.u.

Eta: Ciąg Nastąpi ..Dalszy

bezendu: o to chodziło to teraz pytanie: Jak mam udowodnić jakąś nierówność to mam napisać komentarz tak ?

Eta: Taaak . ?

bezendu: Nie biorę żadnego jeszcze zadanie 2 zostało ( nie pójdę spać dopóki nie zrobię )

Eta: Drugie jest dobre ...... ale "jabłuszko"

bezendu: Miałem problem z podobnym zadaniem post 22:34 ale może coś wymyśle

Eta: No to takie ( łatwiutkie 4/ wykaż,że dla dodatnich liczb rzeczywistych x,y zachodzi nierówność (x+3y)⁴≥256xy³

bezendu: (x+3y)⁴ to mam podnieś do 4 potęgi ?

Eta:

bezendu: (x+3y)⁴≥(4)⁴xy³ ale nadal nic nie mam z tego ?

Eta: Z nierówności między średnimi am − gm ...........

Eta:

pigor: ..., odświeżam np. taką łopatologiczną wskazówką z nierówności między średnimi ¹₄(x+y+y+y} ≥ ⁴√xyyy ⇔ ...

Dominik: pigor, to nie wskazowka, a rozwiazanie. choc wypadaloby napisac, ze nierownosc prawdziwa na mocy nierownosci cauchy'ego o srednich.

pigor: ...cóż, dla kogo rozwiązanie to rozwiązanie, a jeśli już mamy się licytować to ... Cauchy'ego dla n=4 .