indukcja matematyczna zadanie: 16. Dowiesc, ze dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi nierównosc 30n<2ⁿ+110 (*) Rozwiazanie: Przeprowadzimy dowód indukcyjny. 1 Dla n=1 sprawdzamy bezposrednio 30<2+110=112. 2 Załózmy, ze 30n<2ⁿ+110. Udowodnimy nierównosc 30(n+1)<2ⁿ+1+110. Stosujac załozenie indukcyjne otrzymujemy ciag nierównosci: 30(n+1)=30n+30<2ⁿ+110+30=2ⁿ⁺¹+110+30−2ⁿ <2ⁿ⁺¹+110, przy czym ostatnia nierównosc zachodzi dla n­≥5. Zatem nierównosc (*) została udowodniona dla n≥­5. Pozostaje sprawdzic, ze dla n=2 mamy 60<4+110=114, dla n=3 mamy 90<8+110=118, dla n=4 mamy 120<16+110=126. Tym samym nierównosc (*) jest udowodniona dla wszystkich liczb naturalnych n. W szczególnosci wykazalismy, ze dla n=6 zachodzi nierównosc 180<174. Gdzie tkwi bład w powyzszym rozumowaniu?

Basia: w nieskoordynowaniu kroku 1 z krokiem 2 skoro krok 1 jest badany dla n=1 krok 2 musi być prawdziwy dla n≥1 a nie jest

q: wg tresci nierownosc ta ma zachodzic dla "dowolnej liczby naturalnej", a tak nie jest (np. dla n = 5 lub tak jak przytoczyles n = 6); blad tkwi w sforumulowaniu zadania

q: *sformulowaniu

Basia: nie o to chodzi q zadanie wie, że ta nierówność nie jest prawdziwa ale wydaje mu się, że ją udowodnił indukcyjnie i chce wiedzieć gdzie jest błąd w rozumowaniu dla n=1 nierówność jest prawdziwa jeżeli pokażemy teraz, że dla dowolnego n z prawdziwości nierówności dla n wynika prawdziwość dla n+1 mamy nierówność udowodnioną błąd w rozumowaniu polega na tym, że krok (2) nie zachodzi dla dowolnego n nie można więc zaakceptować takiego dowodu indukcyjnego

q: moj blad, dzieki za sprostowanie

zadanie: tzn.ja nie rozwiazywalem tego zadania tylko bylo takie w ksiazce i tzreba bylo wlasnie napisac gdzie jest blad. dziekuje za odpowiedzi to jak powinno sie ja prawidlowo rozwiazac?

Basia: nie da się bo ta nierówność jest fałszywa

Basia: no niezupełnie; zdaje mi się, że jest prawdziwa dla każdego n≥ 7 dowód taki jak przytoczono tylko zaczynamy od n=7 wtedy wszystko jest ok.

Basia: 1. n = 7 L = 30*7 = 210 P = 2⁷+110 = 128+110 = 238 L < P 2. n≥7 i 30n<2ⁿ+110 ⇒ 30(n+1)<2ⁿ⁺¹+110 dowód: 30(n+1) = 30n+30 < 2ⁿ+110+30 < 2ⁿ+2ⁿ−2ⁿ+110+30 = 2*2ⁿ+110 − (2ⁿ−30) = 2ⁿ⁺¹+110 − (2ⁿ−30) < 2ⁿ⁺¹+110 bo dla n≥7 2ⁿ−30 > 0

zadanie: dziekuje

zadanie: jeszcze wroce do tego zadania skad oni wiedzieli, ze ta nierownosc jest prawdziwa dla n≥5?

zadanie: ?

zadanie: wczoraj nie mialem ksiazki przy sobie bo jest rowniez tam odpowiedz w dowodzie sprawdzilismy ze nierownosc jest prawdziwa dla n≤4 oraz ze krok indukcyjny da sie wykonac dla n≥5. niestety te dwa prawdziwe fakty nie skladaja sie w jedna calosc. nie da sie bowiem ,,wykonac kroku'' z 4 do 5 − do tego niezbedna jest prawdziwosc kroku indukcyjnego dla n≥4. a mozna jeszcze inne wytlumaczenie prosic czy juz raczej sie nie da?

zadanie: O zdaniu T(n) udowodniono, ze prawdziwe jest T(1), oraz ze dla dowolnego n­≥6 zachodzi implikacja T(n)⇒T(n+2). Czy mozna stad wnioskowac, ze a) prawdziwe jest T(10), b) prawdziwe jest T(11), c) prawdziwa jest implikacja T(7)⇒T(13), d) prawdziwa jest implikacja T(3)⇒T(1), e) prawdziwa jest implikacja T(1)⇒T(3) moglbym prosic o wyjasnienie tego, jakies wskazowki, podpowiedzi?

xxx: a) nie b) nie c) tak d) tak e) nie

zadanie: ale ja chcialbym wiedziec jak to zrobic?

Basia: a) b) nie udowodniono tylko, że gdyby T(6) było prawdziwe to T(7) byłoby prawdziwe itd. natomiast nie udowodniono, że T(6) jest prawdziwe c) tak, bo dla n≥6 udowodniono implikację T(n) ⇒ T(n+1) 7≥6 więc T(7)⇒T(8)⇒....⇒T(12)⇒T(13) d) udowodniono, że T(1) jest prawdziwe a każda implikacja z prawdziwym następnikiem jest prawdziwa więc nieważne jakie jest T(3) e) T(1) jest prawdziwe, a o T(3) nic nie wiemy nie ocenimy więc wartości logicznej tej implikacji może być prawdziwa gdy T(3)=1, ale i fałszywa gdy T(3)=0

zadanie: dziekuje a po co byla podana informacja o tym, ze dla dowolnego n­≥6 zachodzi implikacja T(n)⇒T(n+2) jakie ma ona tutaj znaczenie?

Mila: C) T(7)⇒T(9)⇒T(11)⇒T(13)

zadanie: dziekuje czyli w c) mozna bylo wykorzystac te podana implikacje