calka wymierna strumen: Witam. Przygotowuje sie do kampanii wrzesniowej i potrzebuje pomocy w obliczeniu calki wymiernej. Jakby ktos mógł bo proszę o rozwiązanie krok po kroku.

	x2
∫
	1−x4

ICSP: 1. Na początek warto przypomnieć wzór na następująca całkę :

	1		1		x−a
∫		dx =		ln|		|
	x2 − a2		2a		x+a

i teraz :

	x2		x2
∫		dx = − ∫		dx =
	1 − x4		(x2−1)(x2+1)

	1		1		1
= −		[ ∫		dx +∫		dx] =
	2		x2−1		x2 + 1

	1		1		x−1
= −		[		ln|		+ arctgx ] + C
	2		2		x+1

asdf: Do kampanii wrześniowej może sie przydac: http://chomikuj.pl/SanderQ/Dokumenty/210+calek+nieoznaczonych+z+pelnymi+rozwiazaniami+krok+po+kroku http://www.matematyka.pl/82336.htm Powodzenia!

PW: Mianownik 1−x⁴ rozkładamy na czynniki: 1−x⁴=(1−x²)(1+x²)=(1−x)(1+x)(1+x²) Staramy się ułamek

	x2
	(1−x)(1+x)(1+x2)

przedstawić jako sumę trzech ułamków, o mianownikach (1−x), (1+x) i ((1+x²). W tym wypadku jest to szczególnie łatwe, gdyż

	x2+1		x2−1		(x2+1)2−(1−x2)2
(1)		+		=		=
	1−x2		1+x2		(1−x2)(1+x2)

4x2
	,
(1−x2)(1+x2)

a ponieważ

	x+1		x−1		(x+1)2+(x−1)2		2(x2+1)
		−		=		=		,
	1−x		1+x		(1−x)(1+x)		1−x2

więc

	x2+1		1		x+1		x−1
(2)		=		(		−		)
	1−x2		2		1−x		1+x

czyli funkcja podcałkowa jest równa

1		1		x+1		x−1		x2−1
	[		(		−		)+		]=
4		2		1−x		1+x		1+x2

1		1		x−1+2		x+1−2		x2+1−2
	[		(		−		)+		]=
4		2		1−x		1+x		1+x2

1		1		2		2		2
	[		(		−1+		−1)+1−		=
4		2		1−x		1+x		1+x2

1		1		1		2
	[(		+		−		].
4		1−x		1+x		1+x2

To trochę żart, zazwyczaj robi się to mechanicznie, ale moim zdaniem warto zapamiętać równości (1) i (2).

PW: Nie widziałem wpisu ICSP pisząc swój sposób, ale − jak widać − będzie to samo (i znowu mamy piękny przykład na to, że wybór metody całkowania − intuicja − to bardzo istotna rzecz).

strumen: dziekuje pieknie za odpowiedz pozdrawiam