podzielnosc zadanie: Dla dowolnych liczb naturalnych m, n, jezeli iloczyn mn jest podzielny przez d2, to co najmniej jedna z liczb m, n jest podzielna przez d. Czy powyzsze zdanie jest prawdziwe dla a) d=8 ; b) d=9 ; c) d=10 ; d) d=11?

zadanie: ?

Vax: Dana zależność jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy d jest pewną potęgą liczby pierwszej. Istotnie, na początku ⇒, załóżmy nie wprost, że d = a*b, gdzie NWD(a,b)=1, ale wówczas przyjmując m=a² , n = b² dostajemy d² | m*n, jednak nie zachodzi żadna z podzielności d | m v d | n, sprzeczność. Teraz pokażemy, że dla d = p^k to działa, mamy pokazać, że p^2k | mn ⇒ p^k | m v p^k | n, jeżeli nie wprost nie zachodzi żadna z tych podzielności, to m = p^x*t oraz n = p^y*s, gdzie x,y < k, oraz p nie dzieli t,s, ale wówczas mn = p^x+yts nie jest podzielne przez p^2k, bo x+y < 2k sprzeczność. Więc a) TAK , b) TAK , c) NIE , d) TAK

zadanie: dziekuje 8=2³ czyli 3 potega liczby pierwszej 2 9=3² druga potega liczby pierwszej 3 10=2*5 odpada bo 2 i 3 jest w pierwszej potedze 11=11¹ to tez jest w pierwszej potedze jest odp. tak dlaczego?

Vax: Nie chodzi o to, że liczby pierwsze nie mają być w pierwszej potędze, tylko, że w rozkładzie występuje dokładnie jedna liczba pierwsza w pewnej potędze (może być w pierwszej, tj d = p). Dlatego 10 odpada, bo 10 = 2*5 składa się z iloczynu dwóch różnych liczb pierwszych.

zadanie: dziekuje