okrąg dziewięciu punktów math: Mam problem natury geometrycznej. Najpierw pewna definicja: Układ czterech punktów nazywamy ortcentrycznym, gdy trójkąt o wierzchołkach w dowolnych trzech z tych punktów ma ortocentrum w czwartym punkcie. I teraz zadanie: Wykaż, że jeżeli punkty A,B,C,D nie tworzą układu ortocentrycznego, to okręgi dziewięciu punktów trójkątów ABC, BCD, CDA, DAB przecinają się w jednym pukcie.

wredulus_pospolitus: to okręgi dziewięciu punktów trójkątów tej części nie rozumiem ... jakie okręgi punktów trójkątów

Vax: Okrąg 9 punktów to okrąg przechodzący przez środki boków trójkąta, spodki jego wysokości i środki odcinków łączących ortocentrum trójkąta z jego wierzchołkami. Ostatnio staram się robić planimetrię na liczbach zespolonych, więc zrobimy też na nich te zadanie Wrzućmy w układ zespolony nasze punkty i nadajmy im współrzędne A(2a) , B(2b) , C(2c) , D(2d), oraz niech X będzie przecięciem się okręgów 9 punktów trójkątów ABC oraz ABD różnym od środka boku AB. Założenie daje nam tylko to, że te 4 okręgi się nie pokrywają, czyli u nas to da, że a² ≠ d², a² ≠ b², c² ≠ d² oraz c² ≠ b². Przyjmijmy, że środkiem układu jest punkt X. Środkami boków AB,BC,CD,DA,AC,BD są odpowiednio punkty o współrzędnych (a+b) , (b+c) , (c+d) , (d+a) , (a+c) , (b+d). Korzystając z tego, że niewspółliniowe punkty A,B,C,D

	a−c		a−d
leżą na okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy		:		∊ ℛ dostajemy dla okręgu 9
	b−c		b−d

	a2−b2
punktów w trójkącie ABD:		∊ ℛ, a dla trójkąta ABC dostajemy
	a2−d2

	b2−c2
		∊ ℛ, chcemy pokazać, że czworokąt o wierzchołkach w środkach boków
	b2−a2

	d2−a2
CD,AD,AC oraz w punkcie X jest wpisany w okrąg, czyli, że		∊ ℛ, ale:
	d2−c2

d2−a2		b2−a2		d2−c2
	∊ ℛ ⇔		∊ ℛ ⇔		∊ ℛ/+1 ⇔
d2−c2		d2−c2		c2−b2

	d2−b2		d2−b2		d2−a2
		∊ ℛ ⇔		∊ ℛ/+1 ⇔		∊ ℛ ⇔
	c2−b2		b2−a2		b2−a2

	a2−b2
		∊ ℛ
	a2−d2

co jest prawdziwe na mocy założenia, analogicznie dowodzimy, że ten 4 okrąg przechodzi przez punkt X, qed.

math: Dzięki Vax, ale wolałbym elementarnie... gratuluje MEMO jedziesz na obz do Szczyrku?

Vax: Haha jasne, że jadę A można wiedzieć z kim rozmawiam?

math: Kostek. Kojarzysz?

math: A ty nie masz co robić w nocy?