calka trygonometryczna Piotr: Witam, mam nastepujaca calke, ale nie wiem przez co ja zrobić, mógłby ktoś podrzucić jakąś koncepcje?

	dx
∫
	sin3x

Ola: spróbuj rozbić sin³x na sin²xsinx=(1−cos²x)sinx

Mila:

	sin2x+cos2x
=∫		dx=
	sin3x

	1		cosx
=∫		dx+∫cosx*		dx
	sinx		sin3x

pierwsza z tablic , druga przez części

pigor: ..., lub od razu przez części np. ze wzoru ∫udv= uv−∫vdu, to

	dx		1		dx
∫		= ∫		*		=
	sin3x		sinx		sin2x

	dx
= | u=sin−1x ⇒ du= −sin−2x*cosx dx, dv=		⇒ v= −ctgx |=
	sin2x

	−cosx		cos2x		−cosx		1−sin2x
=		− ∫		dx=		− ∫		dx=
	sin2x		sin3x		sin2x		sin3x

	−cosx		dx		dx
=		− ∫		+ ∫		, zatem
	sin2x		sin3x		sinx

	dx		−cosx		x
2 ∫		=		+ ln | tg		| / : 2 stąd
	sin3x		sin2x		2

	dx		1		x		cosx
∫		=		ln | tg		| −		+ C − szukana całka . ...
	sin3x		2		2		2sin2x

Piotr: Jednak zostane przy sposobie Mili jednak patrze na swoje wzory w tablicach i nie widzę tam pierwszej całki, a co do drugiej przez części mam wziąć tak:

	cosx
| u=		v'=cosx
	sin3x

	−sin4x−cosx*3sinx
| u'=		v= sinx
	sin6x

?

Mila:

	1		x
∫		dx=ln|tg		| jest wyprowadzona w Krysickim
	sinx		2

	cosx
∫cosx *		dx=...
	sin3x

	cosx		cosx
[cosx=u,−sinx dx=du, dv=		dx, v=∫		dx, sinx=t, cosxdx=dt,
	sin3x		sin3x

	1		1		−1		1
v=∫		dt= −		t−2=		*		]
	t3		2		2		sin2x

	−1	cosx		−1		1
...=			−(		∫(−sinx*		dx=
	2	sin2x		2		sin2x

	−cosx		1		1
=		−		∫		dx
	2sin2x		2		sinx

dokończ wynik jak u Pigora

Piotr:

1
	= csc3x?
sin3x

pigor: ... tak (odwrotność sinusa x)³ to ... (cosekans x)³ = csc³x

Piotr: Dziękuje za pomoc w takim razie!