Kombinatoryka Daniel: Proszę o łopatologiczne wyjaśnienie: Na ile sposobów możemy powiesić na ścianie 8 obrazów tak, aby: a) Dwa najtańsze nie sąsiadywały ze sobą (zakładamy, że każdy obraz ma inną cenę) b) Trzy najdroższe wisiały po kolei, zaczynając od najdroższego i patrząc od lewej

Trivial: a) Przez ☆ oznaczmy dwa najtańsze obrazy. Możemy je powiesić na wszystkie sposoby oprócz: ☆ ☆ _ _ _ _ _ _ (1) _ ☆ ☆ _ _ _ _ _ (2) _ _ ☆ ☆ _ _ _ _ (3) _ _ _ ☆ ☆ _ _ _ (4) _ _ _ _ ☆ ☆ _ _ (5) _ _ _ _ _ ☆ ☆ _ (6) _ _ _ _ _ _ ☆ ☆ (7) W każdej linijce mamy do wyboru położenie dwóch najtańszych obrazów oraz położenie sześciu pozostałych obrazów. Zatem możliwości, które nie spełniają warunków zadania jest: 7*2!*6! Wszystkich możliwości powieszenia na ścianie 8 obrazów w szeregu jest 8!, zatem możliwości, które spełniają warunki zadania jest: 8! − 7*2!*6! = 30240 b) Podobnie, przez A, B, C oznaczmy trzy najdroższe obrazy. Tym razem kolejność jest z góry ustalona (od najdroższego z lewej). Możliwości są takie: A B C _ _ _ _ _ (1) _ A B C _ _ _ _ (2) _ _ A B C _ _ _ (3) _ _ _ A B C _ _ (4) _ _ _ _ A B C _ (5) _ _ _ _ _ A B C (6) W każdej linijce możemy za to wybrać położenie pięciu pozostałych obrazów, zatem możliwości jest: 6*5! = 720

Daniel: Wielkie dzięki, podpunkt "a)" już rozumiem. Jednak pozostaje "b)", w odpowiedziach wynik jest równy 6720 ze wzoru:

8 3
	5!

Trivial: W punkcie b) założyłem, że mają być po kolei i sąsiadująco ze sobą. Wynik z odpowiedzi jest do sytuacji, gdy obrazy nie muszą sąsiadować ze sobą. Wtedy: • wybieramy 3 miejsca z ośmiu, na których będą wisiały obrazy najdroższe. • zostało 5 wolnych miejsc na pozostałe obrazy.

	8 3
Zatem możliwości jest		*5!

Daniel: Dzięki. Jeszcze wracając do podpunktu "a)", w jaki sposób dojść do poniższego wyprowadzenia? Co prawda Twoje rozumiem w pełni, jednak chciałbym też logikę tego drugiego sposobu, może w innym przykładzie mi się przyda.

2*6*1*5*4*3*2*1*5*6 + 6*2*5*1*4*3*2*1*5*6
2

Tak w ogóle, to 1,5 roku temu pomagałeś mi z Algebrą liniową, było to moje pierwsze kolokwium na studiach i dzięki Twoim wyjaśnieniom zdałem! Aż nick zapamiętałem

Trivial: Hm, szczerze mówiąc, to nie wiem skąd od razu taki wynik (może masz jakieś wyniki pośrednie?). Miło mi, że mnie pamiętasz, choć przyznam się, że ja Ciebie − nie za bardzo.

Daniel: "Hm, szczerze mówiąc, to nie wiem skąd od razu taki wynik (może masz jakieś wyniki pośrednie?)." Niestety nie mam, ale mogę sobie odpuścić ten sposób. "Miło mi, że mnie pamiętasz, choć przyznam się, że ja Ciebie − nie za bardzo. emotka" Wcale się nie dziwię.