całka Tomek: Calka nieoznaczona, jak zacząć?

	1
∫		dx
	x4+1

Proszę o jakaś wskazówkę.

ICSP: x⁴ + 1 = (x² − √2x + 1)(x² + √2x + 1) dalej rozkład na ułamki proste.

Tomek: Dziękuje bardzo, ICSP a w jaki sposób to rozłożyłeś? Ma też pytanie, doszedłem do ułamków prostych ale wychodzi mi zły wynik, mógłby ktoś wskazać mi gdzie go robię?

	−x   1   ( ) +   2 √2   2
J1 = ∫		dx =
	x2 − √2x + 1

	1		1   1   ( * 2) (x + )   2   2
−		∫		dx =
	2√2		x2 − √2x + 1

	1		2x+1+√2−√2
−		∫		dx =
	4√2		x2 − √2x + 1

	1		2x−√2		1 + √2
−		( ∫		dx + ∫		dx =
	4 √2		x2 − √2x + 1		x2 − √2x + 1

| t=x² − √2x + 1 | dt=2x−√2 dx

	1		dt		1		dx
−		( ∫		+ ∫		dx + √2∫		dx
	4 √2		t		−√2   (x+ )2+1   2		−√2   (x+ )2+1   2

	1		1		dx
= −		(ln|t| + ∫		dx + √2∫		dx +
	4 √2		−√2   (x+ )2+1   2		−√2   (x+ )2+1   2

C=

	√2
| f = (x −		)
	2

| df = dx

	1		1		f
−		( ln|t| +		arctg		+ √2 *
	4 √2		√1   √2		√1   √2

	1		f
(		arctg		) + C =
	√1   √2		√1   √2

−ln|x2 −√2x + 1| − √2 arctg (√2x−1) − 2 arctg (√2x−1)
	+ C
4√2

Proszę o wskazanie błędu, dziękuje.

Dominik: z calka ci nie pomoge, ale rozlozenie wielomianu na czynniki jest trywialne x⁴ + 1 = x⁴ + 2x² + 1 − 2x² = (x² + 1)² − 2x² = (x² − √2x + 1)(x² + √2x + 1)

Mila:

	−1
W drugiej linijce błędnie wyłączyłeś		( tylko z jednego składnika sumy)
	2√2

Lepiej jest pomnożyć licznik i mianownik przez (−2√2) Całkę dokończę po kolacji, bo jest sporo żmudnego pisania. Wypisz A, B, C, D sprawdzę zgodność z moimi rachunkami.

Tomek: Rzeczywiście... Dziękuje! A co do wartości:

	1
A = −
	2√2

	1
B =
	2

	1
C =
	2√2

	1
D =
	2

Mila: A,B,C,D zgodne z moimi. Jak poszło później? Już obliczone?

xxx: z ciekawości... Tomek? Matematyka na agh? Termin poprawkowy 7 września? To zadanie mam na kartce z zadaniami od Pani Dr Może sie myle, tak tylko pytam

Tomek: Nie nie, nie AGH. Właśnie Mila coś nie wychodzi mi z arctg ... Może napiszę gdzie jest błąd, mianowicie teraz już dobrze wyciągnąłem przed nawias pierwsze podstawienie się zgadza z logarytmem i mam −ln|x²−√2x+1| i teraz mam + 2 arctg (√2x − 1) Patrzyłem w wolframie no i wychodzi inaczej tzn. arctg(1 − √2x) Gdzie mogę mieć błąd? Mam to wszystko jeszcze raz tutaj wklepać aby można było zweryfikować?

Tomek:

	1		x−√2
−		∫		dx
	2√2		x2−√2x+1

	1		2x−√2		−√2
−		(∫		dx − ∫		dx) =
	4√2		x2−√2x+1		x2−√2x+1

|t = x²−√2x+1 |dt=2x−√2

	1		dx
−		( ∫{dt}{t} −√2∫		) =
	4√2		x2−√2x+1

	1		dx
−		(ln|t| −√2∫		)+C =
	4√2		−√2   1   (x+ )2+   2   2

	√2
|u=x−
	2

|du=dx

	1		du
−		(ln|t| −√2∫		)+C =
	4√2		1   u2+   2

	1		1		u
−		(ln|t| −√2 (		arctg		) + C =
	4√2		1   √2		1   √2

−ln|x2−√2x+1|+2arctg(√2x−1)
	+ C
4√2

Dziękuje za pomoc

Tomek: Mógłby ktoś wskazać błąd? Wolfram twierdzi, że inaczej powinno być to zapisane

Mila: Już patrzę.

Mila: arctg(−x)=−arctg(x) Wszystko się zgadza. Czy w tym był problem? aby uniknąć piętrusów ja daję podstawienie:

	√2		1		1
[(x−		)=		t, dx=		dt, t=√2x−1]
	2		√2		√2

Wczoraj nie odzywałeś się, to wyrzuciłam kartkę. Ma napisać swoje rozwiązanie?

Mila: Miało być: Mam napisać rozwiązanie? To jest dopiero połowa całki, została z mianownikiem: (x²+√2x+1)

Tomek: Przepraszam, wczoraj mnie już nie było. Druga całka wyszła mi:

ln|x2+√2x+1| + 2 arctg(√2x+1)
4√2

Mila: Wszytko dobrze. Pod logarytmem może być tylko nawias, bo wyrażenia są dodatnie ( w obu Δ<0 i a=1)

Tomek: Dziękuje bardzo!

Mila: Powodzenia w dalszych zmaganiach z całkami. To przyjemny dział.

monika: mógłby ktoś to zebrać w całość? napisać rozwiązanie tej całki krok po kroku?