oblicz całkę cos^5 x szops: obliczenie ∫cos⁵ (x) czy można to liczyć z ledynki trygonometrycznej czyli ∫ cos⁵ (x)= cosx (cos² x)² dx = ∫ cosx (1−sin² x ) ² dx

asdf: no, a podstawienie?

PW: Proponuję policzyć "przez części". Chcąc zastosować metodę ∫f'g = fg − ∫fg' popatrzmy na funkcję cos⁵x jako na (sinx)'cos⁴x: ∫cos⁵x = ∫(sinx)'cos⁴xdx = sinxcos⁴x − ∫sinx(cos⁴x)'dx = sinxcos⁴x − ∫(sinx)4(cos³x)(−sinx)'dx = sinxcos⁴x + 4∫(sin²x)4(cos³x)dx = sinxcos⁴x + 4∫(1−cos²x)4(cos³x)dx = sinxcos⁴x + 4∫cos³xdx − 4∫cos⁵xdx. Doszliśmy zatem do zależności ∫cos⁵x = sinxcos⁴x + 4∫cos³xdx − 4∫cos⁵xdx, z której wynika, że 5∫cos⁵x = sinxcos⁴x + 4∫cos³xdx, czyli

	1		4
(1) ∫cos5x =		sinxcos4x +		∫cos3xdx.
	5		5

Udało się więc sprowadzić szukanie całki z cos⁵x do szukania całki z cos³x. Powtórz to samo rozumowanie, czyli zauważ, że ∫cos³xdx = ∫(sinx)'cos²xdx, a wyliczysz całkę z cos³x i po podstawieniu do (1) otrzymasz wynik.

PW: Poprawka chochlika: w 6. wierszu powinno być sinxcos⁴x − ∫(sinx)4(cos³x)(−sinx)dx = ... (niepotrzebny był "prim" po (sinx), takie są skutki "kopiuj−wklej").

Mila: ∫cos⁵x dx=∫cos⁴x *cosxdx=∫(1−sin²x)²*cosx dx= [sinx=t, cosx dx=dt] =∫(1−t²)²dt=... dokończ

PW: Mila: Ale jak pięknie się narobiłem! Przykład na wybór metody niekoniecznie dobrej (ale wynik będzie poprawny).

Mila: To właśnie w całkach jest ciekawe. Pozdrawiam.