Szereg geometryczny Garth: Czy nieskonczony ciag geometryczny, ktorego wyrazy spelniaja warunki: a_k−1 − 9a_k+1 = 0 dla k ≥ 2; a₁q ≠ 0 jest zbiezny? a₁q ≠ 0 ⇒ a₁ ≠ 0 ∧ q ≠ 0 warunkiem zbieznosci ciagu geometrycznego jest |q| < 1 a_k+1 = a_k−1 * q² a_k−1 − 9a_k+1 = 0 ∧ k ≥ 2 ⇔ a_k−1(1 − 9q²) = 0 ∧ k ≥ 2 ⇔

	1		1
⇔ ak−1(1 − 3q)(1 + 3q) = 0 ∧ k ≥ 2 ⇔ q =		∨ q = −		∧ k ≥ 2 ⇒ lim ak = S
	3		3

Odp. Tak. Poprawnie?

Garth: Kolejne: Udowodnij, ze w nieskonczonym ciagu geometrycznym zbieznym, w ktorym a₁q ≠ 0, stosunek kazdego wyrazu do sumy wszystkich nastepnych wyrazow jest staly. Zalozenia: a₁q ≠ 0 ⇒ a₁ ≠ 0 ∧ q ≠ 0; |q| < 1, k∊N₊ Teza:

ak
	= R
ak+1 + ak+2 + ak+3 + ...

Dowod: Metoda indukcji.

	a1
1. k = 1 ⇒		= R
	a2 + a3 + a4 + ...

	ak
2. ∀k∊N+ [		= R ⇒
	ak+1 + ak+2 + ak+3 + ...

	ak+1
⇒		= R]
	ak+2 + ak+3 + ak+4 + ...

ak+1
	=
ak+2 + ak+3 + ak+4 + ...

	ak * q
=		=
	ak+1*q + ak+2*q + ak+3*q + ...

	q * ak
=		=
	q * (ak+1 + ak+2 + ak+3 + ...)

	ak
=		= R
	ak+1 + ak+2 + ak+3 + ...

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Jaki powinien byc iloraz takiego ciagu, aby kazdy wyraz rownal sie pieciokrotnej sumie wszystkich nastepnych wyrazow? a_k = 5 * (a_k+1 + a_k+2 + a_k+3 + ...) ⇔ ⇔ a_k = 5 * (a_k * q + a_k * q² + a_k * q³ + ...) ⇔

	ak * q		5akq
⇔ ak = 5 *		⇔ ak =		⇔
	1 − q		1 − q

	5akq − ak(1 − q)		ak(6q − 1)
⇔		= 0 ⇔		= 0 ⇔
	1 − q		1 − q

	1		1		1
⇔ 6ak(q −		)(1 − q) = 0 ⇔ q =		∨ q = 1 ∧ |q| < 1 ⇒ q =
	6		6		6

Czy to jest poprawny dowod i poprawnie obliczone q dla drugiej czesci zadania? Z gory dziekuje

Garth: Nikt? Na zachętę: ∨ − do wyboru.

bezendu: Może kolega od jednej dłoni się skusi ?

Garth: Naprawde nikt nie wie?

Garth: A tutaj mam jeszcze wielomian do rozlozenia (wg Wolframa ma 3 miejsca zerowe: http://www.wolframalpha.com/input/?i=4x%5E3%2B5x%5E2-13x-8%3D0): 4x³ + 5x² −13x − 8 = 0 Probowalem grupowania wyrazow, "metody prob" i nic nie udalo mi sie osiagnac. Z gory dzieki

ICSP: co do równania : 4x³ + 5x² − 13x − 8 = 0

	5
Dzieląc przez 4 a następnie podstawiając x = y −		dostaje :
	12

	181		433
y3 −		y −		= 0
	48		864

podstawiam y = u + v i dostaje :

	433
u3 + v3 =
	864

	1813
u3*v3 =
	483*27

Stąd : y = ³√z₁ + ³√z₂ gdzie z₁ oraz z₂ są rozwiązaniami równania :

	433		1813
z2 −		z +		= 0
	864		483*27

	4332		4 * 1813
Δ =		−		=
	8642		483*27

	4332		4 * 1813
=		−		=
	66 * 42		66 * 43

	4332 − 1813		187489 − 5929741
=		=		=
	66 * 42		66 * 42

	−5742252		− 1435563		81 * 17723
=		=		=		< 0 − trzy
	66 * 42		66 * 4		66 * 4

pierwiastki rzeczywiste

	18√17723i
√Δ =
	22*63

	433 ± 9√17723i
z =
	122

	1
y =		(3√433 + 9√17723i + 3√433 − 9√17723i)
	12

	1
x1 =		(−5 + 3√433 + 9√17723i + 3√433 − 9√17723i)
	12

resztą już bardzo łatwo wyznaczyć

	1
x2 =		(−5 + 3√433 + 9√17723i*e2iπ/3 + 3√433 − 9√17723i*e4iπ/3)
	12

	1
x3 =		(−5 + 3√433 + 9√17723i*e4iπ/3 + 3√433 − 9√17723i*e2iπ/3)
	12

Godzio:

	18√17723i
Jeśli mogę się przyczepić, √Δ = ±
	22*63

ICSP: a jeden mały błąd udało Ci się znaleźć ?

Godzio: Co do zadania pierwszego, jest ok, można powiedzieć, że lim a_k = 0

Godzio: Nie bo nie szukałem

ICSP: no to znalezienie błędu zostawiamy Garth

Godzio: Zad. 2 Indukcja to chyba za mocne narzędzie tutaj (ale jest ok ) Pokażę elementarnie:

ak		ak
	=		=
ak + 1 + ...		ak+1   1 − q

	ak		1 − q		1
=		=		=		− 1
	ak * q   1 − q		q		q

Chyba prościej Co do drugiej części, Zmienię trochę treść, ale reszta jest ta sama. "Jaki powinien być iloraz takiego ciągu, aby stosunek wyrazu do sumy wszystkich następnych był równy 5" No i mając rozwiązane 1 mamy:

1		1
	− 1 = 5 ⇒ q =
q		6

Garth: ICSP − szczerze powiedziawszy takiego rozkladu sie jeszcze nie uczylem, ale jesli sie nie

	5
myle, to po podstawieniu x = y −		rownanie powinno miec postac:
	12

	181		1807
y3 −		y −		= 0, dalej bodajze uzywales tez liczb zespolonych [tego
	48		576

dzialu rowniez sie nie uczylem], wiec ciezko jest mi w ogole dzialac w tym przypadku, ktory, o ironio, sam uzyskalem poprzez bledne obliczenia [w zadaniu nalezalo dojsc do innego wielomianu, ktory da sie rozwiazac metodami ze szkoly sredniej ].

ICSP: W takim razie potrzebujemy Vax'a Może on będzie znał jakaś inną metodę rozwiązania tego równania

Garth: Nie ma takiej potrzeby − jak wspomnialem wielomian ten otrzymalem poprzez zle rachunki [(a wiec nie musze znac jego rozwiazania ]. No chyba, ze ktos chce sie poglowic dla samego pocwiczenia, to prosze bardzo.

Garth: "Granica funkcji f w punkcie x₀ jest liczba g wtedy i tylko wtedy, gdy dla kazdego ciagu (x_n), ktorego wyrazy x_n∊S(x₀) oraz lim n→∞ x_n = x₀, prawdziwa jest rownosc lim n→∞ f(x_n) = g." Czy chcac wykazac, ze jakas funkcja nie ma granicy poprzez wskazanie dwoch ciagow [przykladowo a_n oraz b_n], ktorych granica przy n→∞ jest x₀, natomiast lim f(a_n) ≠ lim f(b_n) musze wskazac takie ciagi, ktore sa okreslone w S(x₀) i nie sa okreslone dla x₀, czy moga one byc rowniez okreslone dla x₀?

Godzio: Z tego co pamiętam to w definicji było jeszcze, że x_n ≠ x₀

Garth: No wlasnie to chyba wynika z tego, ze "x_n∊S(x₀)" z definicji przytoczonej przeze mnie. Natomiast nie jestem pewien, czy wlasnie x_n moze, czy nie moze byc okreslony dla x₀ (i chodzi mi tu tylko o dziedzine, bo ciag staly x_n = x₀ wlasnie odpada z definicji.

Godzio: Mogę się mylić, ale dobrze stawiasz pytanie ? Jak ciąg x_n może być określony dla x₀ ? To chyba funkcja może być (nie)określona dla x₀