podzielnosc zadanie: Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej k, liczba k jest podzielna przez n wtedy i tylko wtedy, gdy liczba k² jest podzielna przez n. Czy powyzsze zdanie jest prawdziwe dla a) n=2 ; b) n=3 ; c) n=4 ; d) n=6 ? Odp.: a) T b) T c) N d) T dla n=4 nie umiem znalezc przykladu, ze tak nie jest. a jest jakis szybszy sposob na rozwiazanie tego zadania oprocz szukania przykladow?

xxx: k=6 n=4 k²=36 dzieli się 4 ale k=6 nie dzieli się przez 4

zadanie: dziekuje a jest jakis szybszy sposob na rozwiazanie tego zadania oprocz szukania przykladow?

PW: Nie ma. Jeżeli chcesz wykazać, że twierdzenie jest fałszywe (nie działa dla wszystkich liczb spełniających założenia), to najprostszym sposobem jest pokazanie kontrprzykładu, czyli takich liczb, dla których twierdzenie jest fałszywe..

zadanie: ok a w podpunktach a), b), d) jest odpowiedz TAK wiec jak wykazac, ze to twierdzenie jest prawdziwe dla tych liczb?

PW: Skoro są podane konkretne liczby, to mamy do czynienia ze zdaniem (może być prawdziwe lub fałszywe). Prawdziwość zdania sprawdzamy po prostu wykonując rachunki. Zadanie jest sformułowane koślawo (można powiedzieć niefachowo). W pierwszym zdaniu jest podane brzmienie twierdzenia (fałszywego), a w drugim zdaniu poleca się sprawdzić prawdziwość pewnych zdań. W sformułowaniu twierdzenia użyty jest kwantyfikator "dla każdego" (dla dowolnej liczby całkowitej). Koślawe jest polecenie "czy powyższe zdanie jest prawdziwe". Idzie o to, że w zdaniu będącym wypowiedzią o konkretnych liczbach tego lwantyfikatora już nie ma, więc nie można mówić "powyższe zdanie".

zadanie: czyli po zrobieniu np. 7 przykladow do kazdego podpunktu i jezeli w kazdym wyjdzie dobrze to nalezy uznac, ze jest to prawda?

PW: Idziesz ulic\ą i patrzysz: − pierwszy przechodzień pijany − drugi przechodzień pijany .... − siódmy przechodzień pijany. Wyciągasz wniosek: Cholera, w tym mieście wszyscy są dzisiaj pijani. Poprawny wniosek?

zadanie: raczej nie

zadanie: ?

zadanie: ?

PW: No pewnie że nie. Przykłady konkretnych liczb, dla których otrzymamy zdanie prawdziwe, nie stanowią dowodu prawdziwości twierdzenia "w ogóle" (dla wszystkich możliwych liczb). Natomiast jeden przykład "na nie" (kontrprzykład) stanowi dowód, że twierdzenie zaczynające się od słów "dla dowolnej liczby" jest nieprawdziwe..

zadanie: ok dziekuje czyli co z tym NWW? bo ja nie wiem

zadanie: co z tym NWW to nie do tego postu

zadanie: no dobrze ale jak udowodnic, ze dla n=2, 3, 6 jest to prawdziwe bo przeciez jest odpowiedz tak ?

zadanie: na jakiej podstawie jest taka odpowiedz ?

zadanie: ?

Vax: Znajdziemy warunek konieczny i wystarczający na to, żeby zachodziła równoważność n | k ⇔ n | k². Naturalnie implikacja w prawo zawsze zachodzi, więc wystarczy sprawdzić, dla jakich n działa n | k² ⇒ n | k, od razu rzuca się w oczy, że działa to wtedy i tylko wtedy, gdy w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby n żadna liczba pierwsza nie występuje w wykładniku większym od 1. Istotnie, jeżeli istniałoby jakieś n = p₁^a₁*...*p_k^a_k, gdzie bez straty ogólności a₁ ≥ 2, to przyjmując k = p₁^[a₁/2]*p₂^a₂*...*p_k^a_k, gdzie

	a1		a1
[		] jest to sufit z		(najmniejsza liczba całkowita nie mniejsza niż
	2		2

	a1
		) dostajemy sprzeczną implikację n | k2 ⇒ n | k, pozostaje dowieść, że jeżeli w
	2

rozkładzie liczby n na czynniki pierwsze wszystkie liczby pierwsze występują w wykładniku równym 1 to zachodzi n | k² ⇒ n | k, co jest oczywiste. Wystarczy wziąć dowolne pierwsze p | n i mamy pokazać p | k² ⇒ p | k co wynika z jednoznaczności rozkładu na czynniki pierwsze. Ogólnie w tego typu zadaniach jak się rozłoży liczby na czynniki pierwsze zawsze szybko dostajemy to co chcemy.

zadanie: dziekuje czyli n=2=2¹ zgadza sie n=3=3¹ tez pasuje n=4=2² nie moze byc bo wykladnik tej potegi jest wiekszy od 1 (2>1) n=6=2¹*3¹ rowniez pasuje czy o to chodzilo?

Vax: Tak.