wzór ogolny ciągu geometrycznego MOnii: Wyznacz wzór ogolny monotonicznego ciągu geometrycznego (an). a1*a5=1

a22
	=25
a32

{a3² − wyraz trzeci do kwadratu a2² − wyraz drogi do kwadratu

Garth: Wyraz a₅ mozna zapisac inaczej jako a₁ * q⁴, a₃ jako a₁ * q²...

Basia: a₅ = a₁*q⁴ a₂ = a₁*q a₃ = a₁*q² stąd: a₁*a₁*q⁴ = 1

a12*q2
	= 25
a12*q4

z (2) wyznacz q; potem z (1) a₁ i podstaw do wzoru ogólnego

MOnii: tyle to ja wiem... chodzi mi o to ze ja to rozumiem... tylko mi wynik nie wychodzi

Basia: napisz obliczenia; zobaczymy

MOnii: http://zapodaj.net/336d43e6277a7.jpg.html

Garth: Zamiast a₅ = a₁ * q masz tam a₅ = a₁ + q, co jest nieprawda.

ZK: POst Basi z 22.12. tam masz zapisaneze

	1
a1*a1*q4=1 wiec a12*q4=1 z tego a12=
	q4

	1   *q2 q4		1		1
Wstawiam do rownania 2 i mam		=25 to		=25 to q2=
	1   *q4 q4		q2		25

	1		1		1		1
to q=−√		to q=−		lub q=√		tp q=
	25		5		25		5

	1
Masz wyliczone q wiec z tego ze a12=		wylicz a1 i podstaw do wzoru an=a1*qn−1
	q4

ZK:

	1		1		1
No to dalej tak jesli q2=		to q4=(		)2=
	25		25		625

	1		1
a12=		to a1=√		=√1*625=√625=25
	q4		q4

	1
zatem an=a1*qn−1 to an=25*(−		)n−1 a drugi wzor napisz sama tylko za q
	5

	1
podstaw
	5

MOnii:

	1
no tak... często mylę arytmetyczny z geometrycznym.. ale dobra tam.. a1 wyszło mi		.
	25

	1		1
Natomiast q		lub −		. Ale za to nie wychodzi mi wzór ogólny... Wyszedł mi
	5		5

an=5ⁿ⁻³ lub an=−5ⁿ⁻³, a powinno wyjść an=5³⁻ⁿ lub an=−5³⁻ⁿ, znowu coś źle robię,

	1		1
ale coś mylę, moze wstawię obliczenia. an=		*5n−1 ∨ an=		*(−5)n−1 ;
	25		25

	1		1
an=(		)2*5n−1 ∨ an=(		)2*(−5)n−1 ; an=5−2*5n−1 ∨ an=5−2*(−5)n−1
	5		5

; an=5^−2+(n−1) ∨ an=−5^−2+(n−1) ; an=5ⁿ⁻³ ∨ an=−5ⁿ⁻³

MOnii: nie rozumiem jak Tobie wyszło w a1=25. Nie ogarniam dlaczego 1*625

PK: Skąd wziełaś 5ⁿ skoro q=1/5, (1/5)ⁿ=5⁻n i wzór ogólny będzie się zgadzał.

PK: Oczywiście a1=25 czyli 5². Ostatecznie an= 5²*(1/5)ⁿ−1 = 5²*5⁻(n−1) = 5⁽3−n)

MOnii: no tak.. zamiast wstawic "a" to ja wstawiam "z". Jak zawsze, Ale już rozumiem... Ja od samego

	1
początku uparłam się, że q to 5, pomimo że, wyszło mi, iż jest to		, Oke Dziękuję Wam
	5

bardzo^^

ICSP: Ja przedstawię rozwiązanie nieschematyczne a₁ * a₅ = 1 ⇒ (a₃)² = 1 ⇒ a₃ = 1 v a₃ = −1 wstawiając to do drugiego równania :

a22
	= 25 ⇒ a22 = 25 ⇒ a2 = 5 v a2 = −5
a32

mamy wiec możliwości : a₂ = 5 a₃ = 1 a₂ = −5 a₃ = −1 pozostałe dwa ciągi nie będą monotoniczne więc nie spełniają warunków zadania. a₂ = 5 , a₃ = 1

	1		1
an =		n−3 v an = − (		)n−3
	5		5

ZK:

	1		1		12		1
Popatrz jesli q2=		to q4=(q2)2=(		)2=		=
	25		25		252		625

dlaczego 1*625 ?

	1		1
Otoz mam z 1 rownania ze a12=		to a12=		dzielenie zastepuje
	q4		1   625

	625
mnozenem i mam a12=1*		=1*625=625 mam wiec a12=625 to a1=√625=25 i
	1

zapomnialem o drugim rozwiazaniu bo a₁=−√625=−25. Wiec nasze a₁=25 lub a₁=−25.

pigor: ..., no to może jeszcze np. tak : (a_n) ciąg geometryczny monotoniczny (q >0), więc

	a22		a1a3
a1a5=1 i		=25 i a3≠0 ⇔ a1a5=1 i		=25 ⇔
	a32		a32

	a1		a1
⇔ a1a5=1 i		=25 ⇔ a1a1q4=1 i		=25 ⇔
	a3		a1q2

⇔ |a₁q²|=1 i q²=¹₂₅ ⇔ |a₁|q²= 1 i q²= ¹₂₅ ⇒ ⇒ |a₁|=25 i q=¹₅ ⇔ (a₁=5² i q=5⁻¹) lub (a₁= −5² i q=5⁻¹) , więc a_n= a₁qⁿ⁻¹, czyli a_n= 5²*(5⁻¹)ⁿ⁻¹ lub a_n= −5²*(5⁻¹)ⁿ⁻¹ ⇔ ⇔ a_n= 5²*5⁻ⁿ⁺¹ lub a_n= −5²*5⁻ⁿ⁺¹ ⇔ a_n= 5⁻ⁿ⁺³ lub a_n= −5⁻ⁿ⁺³ ⇔ ⇔ a_n= 5³⁻ⁿ lub a_n= −5³⁻ⁿ − szukany wzór ogólny danego ciągu . ...

MOnii: spoko, napisałam , że już rozumiem, dzięki

pigor: ..., cieszę się, że rozumiesz tylko, że ja nie wiem co tam napisano i rozwiązałem sobie ot tak ... "po swojemu"

ZK: Po prostu. Caly pigor