Kilka zadań krótkiej odpowiedzi. Konstancja: Witam, ma do rozwiązania kilka zadań krótkiej odpowiedzi. Proszę o w miarę szybką pomoc. 1. Pani Kasia skorzystała z promocji "Raty 0%" i kupiła pralką za 1650 zł. Pierwsza rata wyniosła 250 zł, a każda następna będzie o 20 zł mniejsza od poprzedniej. Ile łącznie rat zapłaci pani Kasia? 2. Pierwszego dnia samochód przejechał 500 km, a każdego następnego przejeżdża ⁴₅ tej odległości, którą przebył dnia poprzedniego. Oblicz, ile kilometrów przejechał ten samochód w ciągu 4 dni? 3. Wyznacz liczbę a tak, aby liczby: ¹₄, a, a+3 w podanej kolejności tworzyły ciąg geometryczny. 4. Oblicz, który wyraz ciągu a_n = n² − 5_n − 8 jest równy 6.

bezendu: Już rozwiązuje

bezendu: 4) n²−6n−8=6 n²−6n−14=0 Δ=36+56=92 √Δ=2√23 n₁=U{6−2√23{2}=3−√23 ∉N₊ n₂=U{6+2√23{2}=3+√23=a₇ spr 7²−5*7−8=6 6=6

bezendu: Zadanie 3

	1
a2=(a+3)*
	4

	1		3
a2=		a+
	4		4

	1		3
a2−		a−		=0
	4		4

	49
Δ=
	16

	7
√Δ=
	4

	3
a=−		lub a=1
	4

Janek191: z.1 Mamy ciąg arytmetyczny a₁ = 250 r = − 20 S_n = 1650 więc a_n = a₁ +( n −1)*r = 250 + ( n −1)*( −20) = 250 −20n + 20 = 270 − 20n S_n = 0,5*( a₁ + a_n)*n czyli 0,5*( 250 + 270 − 20n)*n = 1650 / * 2 ( 520 − 20n)*n = 3300 −20 n² + 520 n = 3300 / : ( − 20) n² − 26n + 165 = 0 −−−−−−−−−−−−−− Δ = ( −26)² − 4*1*165 = 676 − 660 = 16 √Δ = 4

	26 − 4		26 + 4
n =		= 11 lub n =		= 15
	2		2

a₁₁ =270 − 20*11 = 270 − 220 = 50 > 0 a₁₅ = 270 − 20*15 = 270 − 300 = − 30 < 0 − nie może być rata ujemna, więc n = 11 Odp. Kasia zapłaciła 11 rat. =======================

bezendu: Zadanie 2 1476 km tyle przejechał @Janek napisałem, że rozwiązuje

Janek191: z.4 a_n = n² − 5n − 8 a_n = 6 ⇔ n² − 5n − 8 = 6 ⇔ n² − 5n − 14 = 0 Δ = ( −5)² − 4*1*(−14) = 25 + 56 = 81 więc

	5 + 9
n =		= 7
	2

Odp. Siódmy wyraz tego ciągu jest równy 6. spr. a₇ = 7² − 5*7 − 8 = 49 − 35 − 8 = 6

Konstancja: Mam pytanie, czy pomogli byście mi rozwiązać jeszcze kilka zdań tylko rozszerzonej odpowiedzi

bezendu: a to była krótka odpowiedź ? tak rozwiążemy

Konstancja: haha no tak, krótki to to nie było ale bardzo za te zadania dziękuje i zaraz napisze następne

bezendu: Konstancja

Konstancja: 1. Na bokukwadratu o polu 100 cm² zbudowano trojkąt prostokatny, którego przeciwprostokątna, jest równa długości boku kwadratu. Długości boków trójkąta tworzą ciag arytmetyczny. Oblicz pole trójkąta. 2. W sali kinowej jest łącznie 440 miejsc. Liczby miejsc w kolejnych rzędach tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 1. W ostatnim rzędzie jest 35 miejsc. sprawdź, czy w dwunastym rzędzie zmieszczą się wszyscy 30−osobowej klasy. Odpowiedź uzasadnij. 3. Oblicz sumę wszystkich liczb dwucyfrowych, które przy dzieleniu przez 7 dają resztę 3. 4. Między liczby 1 i 10 wstaw dwie inne liczby tak, aby trzy pierwsze tworzyły ciąg geometryczny, a trzy ostatnie ciąg arytmetyczny. 5. W ciągu geometrycznym drugi wyraz jest równy 6, a piąty wyraz jest równy 48. Oblicz, ile wynosi pierwszy wyraz, iloraz oraz suma wyrazów tego ciągu od piątego do dziesiątego. 6. Za trzy płyty, których ceny tworzą ciąg geometryczny zapłacono 142,50 zł. Najdroższa z nich kosztowała o 7,50 zł mnie niż pozostałe. Oblicz ile kosztowała każda z płyt. 7. Suma n kolejnych początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem S_n = 3n² − 13n. Wyznacz wzór ogólny na n−ty wyraz tego ciągu.

Konstancja: Przepraszam bezendu troszkę mi to zajęło

Piotr 10: Zad.7 S_n=a₁+a₂+a₃+.......+a_n−1+a_n S_n−1=a₁+a₂+a₃.....+a_n−1 Odejmując stronami otrzymuję: S_n − S_n−1=a_n S_n=3n²−13n S_n−1=3(n−1)²−13(n−1) Policz i podstaw

bezendu: 3) a₁=10 a₂=17 a_n=94 10+(n−1)*7=94 10+7n−7=94 7n=91 n=13

	10+94
S13=		*13=676
	2

Konstancja: Mam pytanie do zadania 1 z poprzedniego zestawu ktore rozwiązał Janek191. Nie zabardzo wiem skąd wzięło się to 0,5 w tym zapisie: Sn = 0,5*( a1 + an)*n

Piotr 10: Zad.3 a₁=10 a₂=17 a₃=24 a₄=31 a₅=38 a₆=45 a_n=94 a_n=a₁+(n−1)*r a_n=10+(n−1)*7 94=10+7n−7 n=13 S₁3=676

Piotr 10: Oj sorry bezendu nie widziałem Twojego wpisu. Ja już idę, nie przeszkadzam

bezendu: Piotr za późno i po co wypisujesz te wszystkie wyrazy ciekawe co byś zrobił jak by to były liczby 3 cyfrowe

bezendu: Zadanie 7 a_n=6n₁6 Piotr jak chcesz to się pobaw z tym zadaniami ja muszę uciekać

Konstancja: Dziękuje bezendu za pomoc

Piotr 10: Tak od razu mi przyszło do głowy . Potem doszedłem do wniosku, że ma być dwucyfrowa więc znalazłem liczbę 91, która jest podzielna przez 7. A liczba 94=13*7+3

Piotr 10: Ja też zaraz zmykam, więc Konstancja może ktoś inny Ci pomoże

Janek191:

	a1 + an
Sn = 0,5*( a1 + an)*n =		*n − wzór na sumę n początkowych
	2

wyrazów ciągu arytmetycznego

Konstancja: To co Piotr 10 pomożesz mi z tymi zadaniami

Konstancja: ooo no to szkoda to może chociaż Janek191 mi pomoże

Piotr 10: 4. Między liczby 1 i 10 wstaw dwie inne liczby tak, aby trzy pierwsze tworzyły ciąg geometryczny, a trzy ostatnie ciąg arytmetyczny. 1;a;b;10 a²=1*b b=U{a+10{{2} 2b=a+10 2a²=a+10 2a²−a−10=0 Δ=1+80=81 √Δ=9 a₁=2,5 v a₂=−2 b₁=6,25 v b₂=4 Tak na szybko korzystasz tutaj z zaleznosci miedzy ciagami

Piotr 10: I sprawdź jeszcze to co napisałem, ja już muszę iść

Konstancja: Dziękuję Ci bardzo Piotr 10

Janek191: z.1 Bok kwadratu ma długość 10, bo 10² = 100 a₁,a₂, a₃ = 10 − ciąg arytmetyczny a₂ − a₁ = 10 − a₂ 2a₂ = a₁ + 10 ⇒ a₂ = 0,5 a₁ + 5 oraz z tw. Pitagorasa a₁² + a₂² = a₃² czyli a₁² + ( 0,5 a₁ + 5)² = 10² a₁² + 0,25 a₁² + 5a₁ + 25 = 100 1,25 a₁² + 5a₁ − 75 = 0 / *4 5 a₁² + 20 a₁ − 300 = 0 a₁² + 4 a₁ − 60 = 0 Δ = 16 − 4*1*( −60) = 16 + 240 = 256 √Δ 16

	− 4 + 16
a1 =		= 6
	2

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− a₂ = 0,5*6 + 5 = 8 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Pole P = 0,5 a₁*a₂ = 0,5*6*8 = 24 P = 24 cm² =============

Janek191: z.1 Bok kwadratu ma długość 10, bo 10² = 100 a₁,a₂, a₃ = 10 − ciąg arytmetyczny a₂ − a₁ = 10 − a₂ 2a₂ = a₁ + 10 ⇒ a₂ = 0,5 a₁ + 5 oraz z tw. Pitagorasa a₁² + a₂² = a₃² czyli a₁² + ( 0,5 a₁ + 5)² = 10² a₁² + 0,25 a₁² + 5a₁ + 25 = 100 1,25 a₁² + 5a₁ − 75 = 0 / *4 5 a₁² + 20 a₁ − 300 = 0 a₁² + 4 a₁ − 60 = 0 Δ = 16 − 4*1*( −60) = 16 + 240 = 256 √Δ 16

	− 4 + 16
a1 =		= 6
	2

−−−−−−−−−−−−−−−− a₂ = 0,5*6 + 5 = 8 −−−−−−−−−−−−−−−− Pole P = 0,5 a₁*a₂ = 0,5*6*8 = 24 P = 24 cm² =============

Janek191: z.6 a, b, c − ceny tych płyt Mamy a + b + c = 142,5 oraz c = a + b − 7,50 ⇒ a + b = c + 7,50 czyli c + 7,50 + c = 142,50 2c = 142,50 − 7,50 = 135 / : 2 c = 67,50 −−−−−− a + b = 67,50 + 7,50 = 75 ⇒ b = 75 − a a,b,c − ciąg geometryczny, więc b² = a*c czyli po podstawieniu za b i c otrzymamy ( 75 − a)² = a*67,50 5625 − 150 a + a² = 67,5 a a² − 217,5 a + 5625 = 0 −−−−−−−−−−−−−−−−− Δ = ( −217,5)² − 4*1*5625 = 47 306,25 − 22 500 = 24 806,25 √Δ = 157,5

	217,5 − 157,5		217,5 + 157,5
a =		= 30 lub a =		= 187,5 > c − odpada
	2		2

zatem b² = a*c = 30*67,50 = 2025 b = √2025 = 45 spr. 30 + 45 + 67,5 = 142,5 Odp. Płyty kosztowały 30 zł, 45 zł, 67,50 zł. ====================================

Janek191: z.5 Ciąg geometryczny: a₂ = 6 a₅ = 48 Mamy a₂ = a₁*q => a₁ = a₂ : q a₅ = a₁*q⁴ czyli

	a1*q4
a5 : a2 =		= q3
	a1*q

czyli 48 : 6 = 8 = q³ ⇒ q = 2 a₁ = a₂ : q = 6 : 2 = 3 =================== a₅ + a₆ + a₇ + a₈ + a₉ + a₁₀ = S₁₀ − S₄ = 3069 − 45 = 3024 bo

	1 − qn		1 − 210
S10 = a1*		= 3*		= − 3*( 1 − 1024) = 3*1023 = 3069
	1 − q		1 − 2

	1 − 24
S4 = 3*		= − 3*( 1 − 16) = 45
	1 − 2

Odp. Ta suma jest równa 3024. =========================

Janek191: z.2 Mamy S_n = a₁ = a₂ + ... + a_n = 440 r = 1 a_n = 35 zatem a_n = a₁ + ( n −1)*r = a₁ + ( n −1)*1 = a₁ + n − 1 ⇒ a₁ = a_n − n + 1 oraz

	a1 + an
Sn =		*n = 440
	2

Po podstawieniu otrzymamy za a₁ otrzymamy

an − n + 1 + an
	*n = 440
2

czyli

35 −n + 1 + 35
	*n = 440 / * 2
2

(71 − n)*n = 880 71n − n² = 880 n² − 71n + 880 = 0 −−−−−−−−−−−− Δ = ( −71)² − 4*1*880 = 5041 − 3520 = 1521 √Δ = 39

	71 − 39		71 + 39
n =		= 16 lub n =		= 55 − odpada , bo an byłoby > 35
	2		2

	35 − 16 + 1 + 35
spr. S16 =		*16 = 440
	2

Obliczam a₁ a₁ = a_n − n + 1 = 35 − 16 + 1 = 20 oraz a₁₂ = a₁ + (12 −1)*r = 20 + 11*1 = 31 > 30 Odp. W dwunastym rzędzie zmieści się 31 osób czyli wszyscy uczniowie tej klasy. ================================================================

Konstancja: Nawet nie wiem jak mam Ci dziękować Janek191 ratujesz moje życie normalnie. Dziękuje Ci bardzo

Konstancja: Mam prośbę czy może ktoś mi pomóc z zadaniem 2 w pierwszym zestawie, o tym samochodzie Bardzo proszę.

Piotr 10: Ja spróbuję tylko zjem wpierw

Piotr 10: Te zadanie można na 2 sposoby zrobić 1. ''Po chłopsku'' 2. Ciąg geometryczny. Jak zjem napiszę rozwiązanie

Piotr 10:

	4
2. Pierwszego dnia samochód przejechał 500 km, a każdego następnego przejeżdża		tej
	5

odległości, którą przebył dnia poprzedniego. Oblicz, ile kilometrów przejechał ten samochód w ciągu 4 dni? 1 sposób Na ''chłopski rozum'' Pierwszy dzień−500 km

	4		4
Drugi dzień to		odległości, którą przebył dnia poprzedniego, czyli		* 500km=400km
	5		5

	4		4
Trzeci Dzień to		odległości, którą przebył dnia poprzedniego, czyli		*400km=320km
	5		5

	4		4
Czwarty dzień to		odległości, którą przebył dnia poprzedniego, czyli		*320km=256km
	5		5

Teraz dodaje km z każdego dnia: 500km+400km+320km+256km=1476 km 2 sposób a₁=500km

	4
q=
	5

	1−qn
Sn=a1
	1−q

	1−0,84
S4= 500km		=1476 km
	1−0,8

różyczka: Dziękuje Piotr 10