Udowodnij , dowody,liczby calkowite;pierwsze PusioOkrusio : 1) Udowodnij ,ze jesli liczby x i y sa sumami kwadratow dowch liczb calkowitych to takze liczba xy jest roznica kwadratow dowch liczba calkowitych. 2) Udowodnij ,ze jezeli liczba x jest suma kwadratow dowch liczba calkowitych, to takze liczby x² i x⁴ sa sumami kwadratu dwoch liczb calkowitych 3) Wykaz ,ze jezeli liczba x jest roznica kwadratow dwoch liczb calkowitych, to takze 3x jest roznica kwadratow dwoch liczb calkowitych 4) Wykaz ,ze dal kazdej liczby calkowitej c liczba ¹₃c + ¹₂c² + ¹₆c³ tez jest liczba calkowita 5) n nalezy do N, dla jakich n ulamek ^n3−n2+2_n−1 jest liczba całkowita ? 6) Dla jakich liczb pierwszych p liczby p+10 i p+14 tez sa pierwsze? 7) Udowodnij ,ze jezeli liczby p i 5p² − 2 sa pierwsze to liczby 5p² − 4 i 5p² + 2 tez sa pierwsze ? 8) Udowodnij ,ze jezeli p jest liczba pierwsza rozna od 5, to liczba p⁴ z dzielenia przez 5 daje reszte 1.

Piotr 10: Zad.4 Założenie: c∊C Dowód:

1		1		1		2c+3c2+c3		c(2+3c+c2)		c(c2+2c+c+2)
	c+		c2+		c3=		=		=		=
3		2		6		6		6		6

	c[c(c+2)+c+2]		c(c+1)(c+2)
=		=
	6		6

c(c+1)(c+2)⇒ To iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych, z których na pewno jedna dzieli się przez 2, a druga z tych liczb dzieli się przez 3. A więc 2*3=6 c.n.u

lux: 3/ x=a²−b² 3x= 3a²−3b² = (2a−b)²−(a−2b)² = k²−t² . k,t ∊C zatem liczba 3x − też ma tę własność

zet: zad 1) ..... "to także liczba xy jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych" x=a²+b² i y=c²+d² , a,b,c,d ∊C xy=(a²+b²)(c²+d²) xy= a²c²+a²d²+b²c²+b²d² +2abcd −2abcd xy= (ac+bd)²+(ad−bc)²= k²+m² , k,m∊C c.n.d