Kombinatoryka blle: W urnie znajdują się kule białe i 6 kul czarnych. Losujemy z niej bez zwracania dwie kule. Wiadomo, że prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul białych równe jest 1/2. Oblicz, ile kul znajduje się w koszyku.

zm: W którym koszyku? skoro kule są w urnie !

blle: W urnie, złe przepisałem zadanie

tim: a − ilość białych kul 6 − ilość czarnych kul Stosujemy symbol Newtona: 1014. n − ilość wszystkich kul k − ilość losowanych kul Dotyczy to zdarzeń, gdy kolejność nie ma znaczenia, a jedynie fakt wyboru (bez zwracania). Zatem: Ω − losujemy 2 kule dowolne z wszystkich (a+6)

a+6 2
	= (a+4)!(a+5)(a+6)(a+4)!2!

Zdarzenie którego szukamy P(A) = 1/2 A − losujemy 2 kule białe z wszystkich białych (a)

a 2
	= (a−2)!(a−1)(a)(a−2)!2!

	(a−2)!(a−1)(a)(a−2)!2!
P(A) = A/Ω =		= 1/2
	(a+4)!(a+5)(a+6)(a+4)!2!

Po skróceniu zostaje: 2k²−2k = k²+11k+30 Upraszczając dalej otrzymujemy równanie kwadratowe z jednym całkowitym rozwiązaniem.

tim: Zamiast k oczywiście a w ostatnim równaniu.

zm: "k"? chyba "a"? i a∊N+

tim: Tak, także poprawka, rozwiązanie musi być naturalne (zamiast całkowite). Męczący koniec i drobne wpadki.

blle: k=15 , dzięki. To liczyłem dobrze a w odpowiedziach był bład

blle: Znaczy a=15

blle: Mam jeszcze jedno zadanie W urnie znajduje się 20 kul czerwonych i dwie czarne. Losujemy z niej (na raz) n kul. Znajdź najmniejszą liczbę kul, jaką trzeba wylosować, aby prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej jednej kuli czarnej było większe od 1/2.

	2 1		20 1		2 2		22 n
Czy równanie (		*		+		) /		>=1/2

jest dobre ? .

Mila: Przydatny wzór :

n 2		1
	=		*n*(n−1)
		2

k−liczba białych kul,

	k+6 2		1
|Ω|=		=		*(k+6)*(k+5)
			2

A− wylosowano dwie kule białe

	k 2		1
|A|=		=		*k*(k−1}
			2

	0,5*k(k−1)
P(A)=
	0,5*(k+6)*(k+5)

k(k−1)		1
	=
(k+6)*(k+5)		2

k=15 15+6=21 w urnie było 21 kul

blle: Ooo no własnie w odpowiedzi było 21 Dzięki

tim: Na pierwszy rzut oka widać, iż nie, gdyż w liczniku równania masz wylosowanie 1 czerwonej i 1 czarnej (zamiast n−1). Losujemy n, a nie 2 kule.

blle: Myśle ale nie wiem co może byc w liczniku. Możesz podać wzór ?

blle: ?

zm: Odp n=7 to najmniejsza liczba wylosowanych kul,która spełnia warunki zadania

blle: ale z jakiego wzoru sie doszło do tego n=7 ?

zm: Łatwiej w tym zadaniu wprowadzić zdarzenie przeciwne do zdarzenia A A^' − zdarzenie przeciwne do A A^' − wylosowano same kule czerwone

	1
to P(A') ≤
	2

	22 n		22!
|Ω|=		=		n∊(0,22)
			n!*(22−n)!

	20 n		20!
|A'|=		=
			n!*(20−n)!

	20!		n!(20−n)!*(21−n)(22−n)		1
P(A') =		*		≤
	22!		n!(20−n)!		2

......... (21−n)(22−n) ≤ 21*11 teraz sobie dokończ , n∊ (0,22) i " n" ma być najmniejsze

zm: poprawiam n∊(0,20) tak ma być