funkcje zadanie:

	1
[x+		], czyli czesc calkowita liczby rzeczywistej
	2

	1
[−5+		]=[−4,5]=−5
	2

	1
[−4+		]=[−3,5]=−4
	2

	1
[−3+		]=[−2,5]=−3
	2

	1
[−2+		]=[−1,5]=−2
	2

	1
[−1+		]=[−0,5]=−1
	2

	1
[0+		]=[0]=0
	2

	1
[1+		]=[1.5]=1
	2

	1
[2+		]=[2,5]=2
	2

	1
[3+		]=[3,5]=3
	2

	1
[4+		]=[4,5]=4
	2

	1
[5+		]=[5.5]=5
	2

dobrze?

Eta: dobrze

zadanie: dziekuje

Eta:

zadanie: a teraz mam pytanie

	1
jak narysowac wykes tej funkcji f(x)=I[x+		]−xI ?
	2

zadanie: co mam po kolei rysowac?

Eta: https://matematykaszkolna.pl/strona/980.html

Mila: Rozważ wartości funkcji w przedziale , zauważysz pewną prawidłowość. <−1,1> dla argumentów

	−3		−1		1
−1,		,		,0,		,1
	4		2		2

	1
f(−1)=|[−1+		]−(−1)|=|−1+1|=0 itd
	2

zadanie:

	−3		1
f(		)=
	4		2

	−1		1
f(		)=
	2		2

	1
f(0)=
	2

	1		1
f(		=
	2		2

f(1)=0

zadanie:

	−3		1
nie f(		)=
	4		4

zadanie: jest symetryczna wzgledem osi OY

zadanie:

zadanie: czy o to chodzilo?

Mila: No to po kolei:

	1
g(x)=[x+		]
	2

Liczymy:

	5		5		1		5		1
f(−		)=| [−		+		]−(		))|=
	2		2		2		2		2

	1
f(−2)=|[−2+		−(−2)|=0
	2

	3		3		1		3		1
f(−		)=|[−		+		]−		|=
	2		2		2		2		2

Itd

	1
wykres f(x)=[x+		]−x] będzie na drugim wpisie, poczekam trochę na ewentualny Twój
	2

wykres.

zadanie: wydaje mi sie, ze to bedzie tak:

	1
y∊<0;		>
	2

ladniej nie umiem

zadanie: poczekam na sprawdzenie

Mila: Dobrze. Narysuję z jednostkami. Narysuj wykres f(x)=[x+2]

zadanie: wydaje mi sie, ze bedzie tak

zadanie:

	1
majac wykres funkcji f(x)=I[x+		]−xI jak narysowac wykres funkcji f1(x)=f(2x)? na
	2

poczatek chcialbym zapisac wzor tej funkcji f₁(x).

	1
f1(x)=I[2x+		]−2xI czy dobrze jest on zapisany?
	2

Mila: Wyglada dobrze Układ wsp. możesz rysować klikając na ikonkę pod elipsą.

Mila: Do 18:43 "Zagęszczony " . Analogia sin(x) i sin(2x).

zadanie:

	1
to chyba bedzie tak: f1(x)=I2([x+		]−x)I=I[2x+1]−2xI ?
	2

Mila:

	1
f(2x)=g(x)=|[2x+		]−2x|
	2

	1
g(0)=|[2*0+		]−2*0|=0
	2

	1		1		1		1		1		1
g(		)=|[2*		+		]−2*		|=|1−		|=
	4		4		2		4		2		2

	1		1		1		1		3
g(		)=|[2*		+		]−2*		|=|[		]−1|=0
	2		2		2		2		2

	−1
Sprawdź dla		,−1,1
	4

Krzywo wyszło, ale chyba wiesz o co chodzi. Zaraz usunę ten wykres.

zadanie:

	−1		1
g(		)=
	4		2

g(−1)=0 g(1)=0

zadanie: czyli jezeli jest f(2x) to za x wstawiam 2x tak?

Mila: Tak. Rysowałes wykresy?

	1
sin(2x), cos(2x), sin (3x), sin (		x)
	2

zadanie: tak

	1
jak jest 2x to wykres staje sie wezszy a		x to wykres staje sie szerszy
	2

Mila:

zadanie:

	1		1		1		1		1
f2(x)=f(		x) czyli za x wstawiam		; f2(x)=I[		x+		]−		xI
	2		2		2		2		2

	1
f3(x)=2f(x); f3(x)=2I[x+		]−xI
	2

dobrze?

Mila: Zgadza się.

zadanie:

	1		1
a jak bedzie f4(x)=f(x+		) to za x mam wstawic x+		czyli
	4		4

	1		1		1		3		1
f4(x)=I[x+		+		]−( x+		)I=I[x+		]−x−		I
	4		2		4		4		4

	1
f5(x)=5f(x)+3x; f5(x)=5I[x+		]−xI+3x
	2

a czy te przyklady sa dobrze?

Mila: Tak.

zadanie: dziekuje

zadanie: chcialbym jeszcze zapytac bo sie tak zastanawiam jak mam napisac wzor funkcji f₁(x)=f(2x) to

	1
dlaczego nie moge napisac f1(x)=I[2x+1]−2xI tylko f1(x)=I2x+		]−2xI ?
	2

zadanie: ?

Mila: f(2x) oznacza, że za argument wstawiasz 2x.

zadanie: ok dziekuje

zadanie: funkcja nierosnaca, niemalejaca to inaczej stala?

Mila: http://www.math.edu.pl/funkcja-monotoniczna

zadanie: zapytalem dlatego, ze robilem takie zadanie, w ktorym trzeba bylo okreslic czy funkcja jest parzysta, nieparzysta, monotoniczna. i np. y=5 jest to funkcja parzysta i stala a w odp. bylo, ze jest to funkcja parzysta, nierosnaca, niemalejaca. dlatego zapytalem sie czy jezeli funkcja jest nierosnaca, niemalejaca to czy oznacza to, ze jest stala.no bo tak mozna wywnioskowac.

Aga1.: Oto przykładowy wykres funkcji nierosnącej. Nierosnąca tzn. malejąca lub stała.

zadanie: no tak ale jak jest niemalejaca i nierosnaca to znaczy, ze jest stala?

zadanie: ?

Mila: http://www.matemaks.pl/monotonicznosc-funkcji.php wg mnie f(x)=5 jest funkcją stałą, parzystą. Autor zadania dał odp. ze jest to funkcja parzysta, nierosnaca, niemalejaca. Pewnie wcześniej w teorii wyjaśniał co ma na myśli.

zadanie: ok dziekuje

zadanie: funkcja rosnaca badz malejaca ma dokladnie 1 rozwiazanie i w rownaniu typu √x⁷+x+7=3 a wlasciwie w rozwiazaniu jest taki komentarz, ze funkcja x⁷+x+7 jest rosnaca czyli ma jedno rozwiazanie x=1. ale skad mam wiedziec, ze ta funkcja jest rosnaca?

Mila: Źle to przepisałeś, co to znaczy ,że funkcja ma jedno rozwiązanie? Może jedno miejsce zerowe? Równanie ma jedno rozwiązanie. Pochodna funkcji pod pierwiastkiem f'(x)=x⁶+1>0 ⇔funkcja jest rosnąca dla x∊R

Mila: Zbadaj z definicji, że funkcja jest rosnąca.

zadanie: f(x)=x⁷+x+7 x₁−x₂<0 f(x₁)−f(x₂)=x₁⁷+x₁+7−x₂⁷−x₂−7=x₁⁷−x₂⁷+x₁−x₂= =(x₁−x₂)(x₁⁶+x₁⁵x₂+x₁⁴x₂²+x₁³x₂³+x₁²x₂⁴+x₁x₂⁵+x₂⁶)+(x₁−x₂) wyrazenie x₁−x₂<0 a wyrazenie (x₁⁶+x₁⁵x₂+x₁⁴x₂²+x₁³x₂³+x₁²x₂⁴+x₁x₂⁵+x₂⁶) jaki ma znak?

Mila: Może tak. x₁<x₂ to x₁⁷<x₂⁷ Nieparzysta potęga nie zmienia znaku potęgowanej liczby.

zadanie: f(x₁)−f(x₂)=(x₁⁷−x₂⁷)+(x₁−x₂) oba te wyrazenia sa mniejsze od zera wiec f(x₁)−f(x₂)<0 stad ta funkcja jest rosnaca dobrze?

zadanie: ?

Mila: