kilka granic pomocy: Pomoże ktoś? Mam problemy z granicami gdzie są funkcje trygonometryczne itp Wylicz granice:

	shx
1) limx→∞
	x+ex

	π		cosx−sinx+1
2) limx→
	2		sin2x−cosx

3) lim_x→∞ xarcctgx 4) lim_x→1⁻ lnxln(1−x) 5) lim_x→0 (x⁻²−sin⁻²x)

wredulus_pospolitus: w pierwszym na pewno masz sh x czy wiesz w ogóle co to za funkcja

pomocy: tak, na pewno shx na sto procent. sinus hiperboliczny ?

pomocy: nikt nie rozwiąże? żadnej?

pomocy: 1)

	shx		ex−e−x   2		ex−e−x
lim		= lim		= lim
	x+ex		x+ex		2(x+ex)

dalej nie umiem, nakieruje mnie ktoś chociaż przy tych przykładach?

ZKS:

	ex − e−x
limx → ∞		=
	2(x + ex)

	ex		e−x
limx → ∞		− limx → ∞
	2(x + ex)		2(x + ex)

	ex		ex
limx → ∞		= H = limx → ∞		= H =
	2(x + ex)		2(1 + ex)

	ex		1
limx → ∞		=
	2ex		2

	e−x		1
limx → ∞		= limx → ∞		= 0
	2(x + ex)		2ex(x + ex)

	1		1
g =		− 0 =		.
	2		2

fx: 2). Rozwiń w mianowniku wzór na sin2x i uprość wyrażenia. 3). Zapoznaj się w własnościami funkcji odwrotnej do cot x (cot⁻¹x czy jak kto wili arccotx). 4). Zamień wyrażenie na iloraz i zastosuj regułę L'Hospitala.

	1
5). Zapisz wyrażenie korzystając z a(−b) =		i przyjrzyj się.
	ab

Mila: Dzielimy licznik i mianownik przez e^x

	ex   e−x   − ex   ex
=limx→∞		=
	x   ex   2*( + )   ex   ex

	1   1−( )2x   e		1
=limx→∞		=
	x   2*( +1)   ex		2

	x		1
Limx→∞		=Hlim		=0
	ex		ex

pomocy: nie umiem, proszę o rozwiązania, bardzo...

pomocy: tego pierwszego też bym sam nie wyliczył (dziękuje za rozwiązanie!)... zbyt skomlikowane przykłady dla mnie.

fx: Tylko tak wyglądają. Musisz ćwiczyć, tylko tak się tego nauczysz. Jeśli chcesz; jeśli nie, to będziesz miał problemy później bo pojęcie granicy wykorzystuje się w definicji pochodnej, asymptot i wielu innych zagadnieniach nie tylko matematycznych. Aby sprawnie liczyć granicę musisz zrozumieć intuicyjnie co to jest granica i jak zachowują się funkcje elementarne gdy argumenty zbiegają do pewnych wartości (warto poznać definicję i przede wszystkim wykresy funkcji sinx, cosx, tanx, cotx, odwrotne do nich, funkcje wykładnicze (a^x (szczególny przypadek takie to e^x)) − dzięki nim masz rozwiązany problem funkcji hiperbolicznych (vide ich definicje). Jeśli wykażesz trochę chęci i poświęcisz kilka wieczorów to bez problemu sobie poradzisz z tematem granic − w razie problemów, pytaj na forum. Pytaj jednak o wskazówki a nie pełne rozwiązania . Powodzenia!

Mila: 2)

	(cosx−sinx+1)
limx→π2		=
	(sin(2x)−cosx)

	0
masz symbol		, stosujemy regułę de l'Hospitala
	0

	(cosx−sinx+1)'
=limx→π2		=
	(sin(2x)−cosx)'

	−sinx−cosx		π   π   −sin −cos   2   2
=limx→π2		=		=
	2cos(2x)+sinx		π   2cosπ+sin   2

	−1−0
=		=1
	2*(−1)+1

Mila: 3) Lim _x→∞(x*arcctg(x)) masz symbol ∞*0, przekształcamy

	arcctg(x)		0
=Lim x→∞		= teraz masz symbol		,stosujemy regułę de l'Hospitala
	1   x		0

	(arcctgx)'
=limx→∞		=
	1   ( )'   x

Teraz sam dokończ

pomocy:

	1   x2+1		1		x2
limx→∞		= limx→∞		*		=
	−1   x2		x2+1		(−1)

	x2		∞		(x2)'		2x
= limx→∞ −		=		= H = limx→∞ −		= limx→∞
	x2+1		∞		(x2+1)'		2x

= 1 ?

pomocy: aaa nie głupoty znowu pisze, znowu mi wychodzi ∞ przez ∞ ... wrócę do tego rano, mózg odmawia posłuszeństwa dzieki za pomoc !

fx:

	∞
Nie sprawdzam poprawności obliczeń, ale skoro wychodzi znów		to znów jedziesz
	∞

L'Hospitalem. Czasem, korzysta się z niego kilka razy licząc jedną granicę.

fx: Nie zapominaj o znakach.

ZKS:

	x2
−limx → ∞		wyciągamy największą potęgę z mianownika i mamy
	x2 + 1

	1		1
−limx → ∞		= −		= −1.
	1   1 +   x2		1 + 0

pomocy: 4)

	lnx
limx→1− lnxln(1−x) = limx→1−		= H =
	1   ln(1−x)

	1   x		x−1
limx→1−		= limx→1−		=
	1   x−1		x

	1   x(1− )   x		1
limx→1−		= limx→1− (1 −		) = 0 ?
	x		x

Mógłby ktoś wyłapać błąd? Bo podejrzewam, że jest źle biorąc pod uwage lim_x→1⁻ to wynik powinien być +∞ lub −∞ ?

fx: Pochodna

	1
(ln−1(1−x))' ≠
	x

fx:

	1
Miało być ≠
	x+1

pomocy: aaa no faktycznie ! zaraz poprawiam, dzięki !

pomocy:

	(1−x)(ln2(1−x))
limx→1− =		w takim wypadku co powinienem dalej robić?
	x

Basia: zapisać w postaci

ln2(1−x)
x   1−x

licznik → (−∞); mianownik → +∞ czyli

ln2(1−x)		1   2[ln(1−x)]* *(−1)   1−x
	→H		=
x   1−x		1*(1−x) − (−1)*x   (1−x)2

	2ln(1−x)   1−x		2ln(1−x)
−		= −		*(1−x)2 =
	1−x+x   (1−x)2		1−x

	−2ln(1−x)		−2   *(−1) 1−x
−2ln(1−x)*(1−x) =		→H		=
	1   1−x)		1   *(−1) (1−x)2

	2
−		*(1−x)2 = −2(1−x) → 0
	1−x

sprawdź, bo mogłam się gdzieś pomylić

Mila: ad 23:41 Byłoby u Ciebie dobrze ale :

	−1
(arcctgx)'=
	x2+1

	−1   x2+1
limx→∞		=
	−1   x2

	x2
=limx→∞		= dzielimy licznik i mianownik przez x2
	x2+1

	1
=limx→∞		=1
	1   1+   x2

pomocy: Basia − nie znalazłem błedu. Ale dalej nie rozumiem dlaczego granica z x→1⁻ ma ten minus... Nie bierzemy go w ogole pod uwagę?

Basia: bierzemy, to jest granica przy x → 1 z lewej strony

pomocy: A ten ostatni przykład ktoś rozwiąże?

pomocy: http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+%28%28shx%29%2F%28x%2Be%5Ex%29 czy ta pierwsza granica jest na pewno dobrze obliczona? wynik tutaj pokazuje co innego

Mila: http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+%28e%5Ex-e%5E%28-x%29%29%2F%282%28x%2Be%5Ex%29+%29+as+x+to+inf

Mila: Miałeś błędnie wpisaną funkcję: http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+%28sinhx%2F%28x%2Be%5Ex%29%29+as+x+to+inf