wielomian bezendu: Wykaż, że liczba 1 jest potrójnym pierwiastkiem wielomianu W(x)=x⁵−7x³+11x²−6x+1 dzieląc schematem Hornera mam W(x)=(x−1)(x⁴+x³−6x²+5x−1) znowu dzieląc Hornerem mam: W(x)=(x−1)(x−1)(x³+2x²−4x+1) i jeszcze raz Horner: W(x−1)(x−1)(x−1)(x²+3x−1) zostawić tak jak jest czy rozkładać jeszcze x²+3x−1 ( wyjdzie nie ładny pierwiastek ) ?

Dominik: wystarczy zauwazyc, ze teza jest rownowazna do W(1) = 0 ∧ W'(1) = 0 ∧ W''(1) = 0 ∧ W''' ≠ 0. zamiast dzielenia mozna policzyc pochodne i sprawdzic, czy suma wspolczynnikow wielomianu odpowiednio wynosi lub nie wynosi 0. pokazanie, ze W(x) mozna zapisac w postaci (x − 1)³ * P(x) nie wystarcza jako dowod, poniewaz x = 1 moze byc pierwiastkiem czterokrotnym czy nawet pieciokrotnym (choc widac od razu, ze tak nie jest).

bezendu: ale rozkładając dalej to x²+3x−1 nie otrzymałbym z tego pierwiastka x=1 ? więc jeśli bym rozłożył to x²+3x−1 wtedy było by ok ?

Dominik: tak, bedzie w porzadku. wtedy mozesz bez problemu okreslic krotnosc wszystkich pierwiastkow, w tym i x = 1. jednak metoda ta wymaga wedlug mnie zbyt wielu krokow i wygodniej byloby skorzystac z pochodnych. liczenie pochodnej wielomianu jest proste.

Saizou : nawet nie musisz rozkładać wystarczy że pokażesz, że P(x)=x²+3x−1 P(1)≠0 i koniec

Mila: Dominik, w LO pochodne nie obowiązują. Bezendu możesz też tylko raz podzielić przez x³−3x²+3x−1 wyjdzie (x²+3x−1) i reszta 0 1 nie jest pierwiastkiem p(x)=x²+3x−1 bo p(1)≠0 odp. x=1 jest pierwiastkiem potrójnym w(x).

bezendu: dziękuję Mila

Mila:

use: Hmm...Ciekawe, pierwsze słysze ze mozna uzyc pochodnej do obliczania pierwiastkow,i jestem zainteresowany, ciekaw jestem z czego to wynika macie jakiś dowod ?

bezendu: Dla jakich wielkości a wielomian W(x)=x³−(2a−1)x²+3,5x−4 jest podzielny przez dwumian F(x)=x−2 2³−(2a−1)*4+3,5*2+a²−4=0 8−8a−4+7+a²−4=0 a²−8a+7=0 Δ=36 √Δ=6

	8−6
a1=		=1
	2

	8+6
a2=		=7
	2

Czy wszystko jest ok ?

Eta: Źle skąd wziąłeś a² ? f(2)=0 ⇒ ..........

Piotr 10: Eta masz może jakieś 2 zadania z ciągów liczbowych? Bo mi słabo idą jakoś. Przepraszam, że w tym poście piszę, z zadania.info już porobiłem trochę

bezendu: przepraszam pomyłka W(x)=x³−(2a+1)x²+3,5x+a²−4 2³−(2a+1)*4+3,5*2+a²−4=0 8−8a−4+7+a²−4=0 a²−8a+7=0 Δ=36 √Δ=6

	8−6
a1=		=1
	2

	8+6
a2=		=7
	2

Eta: Zamiast pytać naucz się sprawdzać ( przyda się na maturze ,bo kogo zapytasz ? dla a=1 W(x)= x³−3x²+3,5x −3 sprawdzasz czy W(2)=0 ... 8−12 +7−3=0 czyli ok! sprawdź dla a= 7

bezendu: Nauczyciela z komisji

Eta:

bezendu: Ale tego zdania nie wiem jak tknąć Dla jakich wartości parametrów a i b reszta z dzielenia wielomianu W przez wielomian Q jest równa R a) W(x)=x³+2x²+ax+b Q(x)=x²+x−2 R(x)=4x−3 ?

Eta: Zapamiętaj ! Sprawdzanie jest bardzo ważne , bo tylko wtedy... możesz znaleźć błąd w rachunkach !

bezendu: Albo jeszcze wyśle sms'a do zajączka sam zachęcał żeby tak robić

Eta: Q(x)= (x+2)(x−1) to: W(−2)= R(−2) i W(1)=R(1) i rozwiąż ten układ równań

Piotr 10: W(x)=Q(x)*P(x)+R(x) x³+2x²+ax+b=(x²+x+2)(x−c)+4x−3 x³+2x²+ax+b=x³−cx²+x²−cx+2x−2c+4x−3 x³+2x²+ax+b=x³+x²(−c+1)+x(−c+6)−2c−3 2=−c+1 c=−1 −c+6=a −1+6=a a=5 −2c−3=b 2−3=b b=−1

bezendu: −8+8−2a+b=−8−3 1+2+a+b=4−3 −2a+b=−11 / (−1) a+b=−2 2a−b=11 a+b=−2 3a=9 a=3 3+b=−2 b=−5 teraz pytanie skąd to wszystko się wzięło ?

Eta: @ Piotra 10 No to teraz sprawdź : W(x)= x³+2x²+5x−1 podziel go przez Q(x) i zobaczysz czy otrzymasz taką resztę R(x)= 4x−3 ? i znajdziesz błąd w rachunkach !

pigor: ... . Dla jakich wartości parametrów a i b reszta z dzielenia wielomianu W(x)=x³+2x²+ax+b przez wielomian Q(x)=x²+x−2 jest równa R(x)=4x−3 ? −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− otóż Q(x)= (x+2)(x−1) i R(x)= 4x−3, zatem to z tw. o reszcie zadanie sprowadza się do rozwiązania układu równań liniowych: W(−2)= R(−2) i W(1)= R(1) ⇔ −8+8−2a+b= −11 i 1+2+a+b= 1 ⇔ ...

Eta: Ooo ....... pigor się obudził

Eta: pigor czyt. wpis 20 :08

Piotr 10: W(x)=Q(x)*P(x)+R(x) P(x) to funkcja liniowa postaci ax+c, gdzie a=1 x³+2x²+ax+b=(x²+x−2)(x+c)+4x−3 x³+2x²+ax+b=x³+(c+1)x² +(c+2)x −2c−3 2=c+1 c=1 c+2=a a=3 −2c−3=b b=−5 Odp: a=3 ; b=−5

Eta: Teraz ok ( zapamiętaj: zawsze wykonuj sprawdzenie

bezendu: Q(x) zostało zamienione na postać iloczynową a dalej ?

Piotr 10: Tak, wiem. W ogóle dwa błędy zrobiłem przy zapisie x²+x−2 oraz zapisałem funkcje liniowaąw postaci x−c

pigor: ... a faktycznie to tak jak ... w międzyczasie robi się różne inne rzeczy , a więc nic tu po mnie i idę sobie stąd . ...

bezendu: czemu rozważamy W(−2)=R(−2) i W(1)=R(1) ?

Eta: Z twierdzenia o reszcie z dzielenia W(x)= P(x)*Q(x)+R(x) Q(x)= (x+2)(x−1) to W(x)=P(x)(x+2)(x−1)+R(x) W(−2)= P(−2)(−2+2)(−2+1)+R(−2) ⇒ W(−2)= 0 +R(−2)⇒ W(−2)=R(−2) i W(1) = ........ = R(1) jasne?

bezendu: ale również dobrze mogło by być W(−2)=R(1) ?

Eta: Jakim cudem ?

Eta: W(−2)=P(−2)(−2+2)(−2−1)+ R(−2) ⇒ W(−2)=R(−2) W(1)=P(1)(1+2)(1−1)+R( 1) ⇒ W(1)=R(1) To wszystko w tym temacie

bezendu: Irlandzkim teraz już jasne jak słońce, dziękuję

Eta:

Dominik: Mila, jak najbardziej wiem. sam nie brnalem w material spoza programu LO, ale ten sposob pokazal mi bodaj Trivial i bardzo mi sie spodobal, z racji na swoja prostote. nie zaprzeczysz, ze policzyc pochodna wielomianu jest latwo.

use: @dominik daj linka do tej lekcji Triviala

ZKS: Liczba r jest pierwiastkiem k − krotnym wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy gdy W(r) = W'(r) = W''(r) = ... = W^{(k − 1)}(r) = 0 ∧ W^(k)(r) ≠ 0 gdzie W^(k) jest k−tą pochodną wielomianu W(x).

use: a z czego to wynika>