wartość funkcji z dokładnością hey: Wylicz wartość funkcji z dokładnością do: f(x)=ln(1,1) , d=10⁻⁴ pomoże ktoś z tym przykładem?

hey: f(x) = lnx fx0 = 1 Δx = 0,1 ? dobre oznaczenia przyjmuję?

hey: up ?

hey: pomoże ktoś? proszę ! kompletnie nie wiem jak się za to zabrać...

wredulus_pospolitus: nooo ... dobre i co dalej

asdf: Szereg Maclaurina najlepiej użyj, wyznacz n−tą pochodną funkcji y = ln(1+x)

hey: Czyli taki wzór to w ogóle inna bajka? f(x0 + Δx) ≈ f'(x0) * Δx + f(x0) ? a tak? dobrze kombinuje?

	f'(x0)		f''(x0)		fn−1(x0)
f(x) = f(x0)+		(x−x0)+		(x−x0)2+		(x−x0)n−1
	1!		2!		n−1

tylko co dalej? Przepraszam ale pierwszy raz mam takie zadanie przed oczyma i nie wiem jak to zacząć rozwiązywać...

hey: tam oczywiście w mianowniku powinno być (n−1)!

asdf: wypisz kilka pierwszych pochodnych funkcji y = ln(1+x) oraz spróbuj znaleźć n−tą pochodną.

hey:

	1
y' =
	x+2

	−1
y'' =
	(x+2)2

	2
y3 =
	(x+2)3

	−6
y4 =
	(x+2)4

	24
y5 =
	(x+2)5

	(n−1)* góra poprzedniego ulamka z zmienionym znakiem
yn =
	(x+2)n

(nie umiem tego okreslic, glowie sie, ale nie wymysle) jesli umiesz to rozwiazac, bardzo prosze o odpowiedz, ja chyba nie dojde do tego...

asdf:

	1
y' =		= (x+1)−1
	x+1

y'' = −1(x+1)⁻² y''' = (−1)(−2)(x+1)⁻³ y^iv = (−1)(−2)(−3)(x+1)⁻⁴ można wywnioskować wzór na n−tą pochodną:

	(−1)n−1*(n−1)!
y(n) =
	(x+1)n

wzór maclaurina wygląda tak:

	f'(0)		f''(0)		f(n−1)(0)
Pn(x) = f(0) +		x1 +		x2 + ... +		xn−1 + Rn
	1!		2!		(n−1)!

	f(n)(c)
gdzie Rn, czyli reszta =		xn (za x wstawiam c, ponieważ jest to punkt
	n!

pośredni, między x₀, a Δx = x, czyli c ∊ (0;0.1) )

	(−1)n−1*(n−1)!		(−1)n−1*(n−1)!
=		xn =		* xn
	n!*(c+1)n		n*(n−1)!*(c+1)n

	(−1)n−1
=		* xn
	n*(c+1)n

błąd jest to wartość bezwzględna:

	(−1)n−1		1 * (0.1)n
| Rn(0.1) | = |		* xn | =		=
	n*(c+1)n		n*(1+c)n

1
10n*n*(1+c)n

szacuję teraz z góry, pamiętając, że c ∊ (0;0.1), czyli:

	1
0 < c <
	10

	1
1+0 < 1+c < 1+
	10

odwracam:

	1		11
1 >		>
	1+c		10

podnoszę do n−tej potęgi:

	1		11
1n >		> (		)n
	(1+c)n		10

reguła jest taka, że szacuje się z góry, czyli jest to mniejsze od 1 (patrz na znaki):

	11		1
(		)n <		< 1n
	10		(1+c)n

zatem:

1		1n
	mogę oszacować z góry jako
10n * n * (1+c)n		10n * n

1
	< 10−4
10n *n

n * 10ⁿ > 10⁴ n ≥ 4 zatem należy dodać 3 kolejne wyrazy szeregu, czyli:

	f'(0)		f''(0)		f'''(0)
P3(0.1) ≈ f(0) +		* (0.1)1 +		* (0.1)2 +		* (0.1)3
	1!		2!		3!

gdzie f'(0), f''(0), f'''(0) sobie chyba już policzysz

hey: WIELKIE WIELKIE DZIĘKI, biore się za analize wszystkiego pokolei

asdf: obejrzyj sobie tego Pana, bardzo fajnie wyjaśnia, wyprowadza wzór, jeżeli ten odcinek nie wystarcza, ogladaj kolejne: https://www.youtube.com/watch?v=Bu8wqYbxOMM weź sobie na spokojnie to przeanalizuj, jak czegoś nie rozumiesz − pytaj

hey: Czy wynik to 0,095?

asdf: http://www.wolframalpha.com/input/?i=log%5Be%2C+1.1%5D Sprawdź czy do 4 miejsca po przecinku się zgadza

hey: no to jeszcze raz bardzo dziękuje! muszę się nauczyć wpisywać komendy w wolframalpha bo to naprawdę przydatna strona pozdrawiam

asdf: na studia bardzo