Sprawdzenie dowodu Piotr 10:

	a+b		(a−b)2
Udowodnij, że jeżeli a≥b>0 to		−√ab ≥
	2		8a

Założenie: a ≥ b > 0 Dowód:

(√a−√b)2		(a−b)2
	≥		/ *8a
2		8a

4a(a−2√ab+b) ≥ a²−2ab+b² 4a²−8a√ab+4ab ≥ a²−2ab+b² 3a²−8a√ab+6ab−b² ≥ 0 (a−4√ab)²+2a²−b²+22ab ≥0 (a−4√ab)²+(√2a−b)(√2a+b)+22ab ≥0 (a−4√ab)²>0 ⇒ Ta nierówność jest zawsze prawdziwa(spełniona) dla dowolnych a i b (√2a−b)(√2a+b) ⇒ Iloczyn dwóch liczb dodatnich jest zawsze liczbą dodatnią. (√2a−b)>0, gdyż z założenia wiem, że a≥b. (√2a+b)>0 , gdyż a≥b 22ab > 0 gdyż a oraz b są większe od zera. Zatem wykonując ciąg równoważnych przekształceń doszedłem do wniosku, że jeżeli nierówność końcowa jest zawsze prawdziwa to nierówność

	a+b		(a−b)2
początkowa		−√ab ≥		jest zawsze spełniona c.n.u.
	2		8a

Proszę o sprawdzenie dowodu

Saizou : jak dla mnie nie ma błędu

Piotr 10: W końcu znazałem rozwiazanie tutaj http://www.zadania.info/d1432/1068521 . Jak oni tutaj szybko zrobili haha a ja się meczyłem.. Ok dzieki Saizou po raz kolejny

Saizou : każdy sposób jest dobry jeśli prowadzi do poprawnego zadania, tylko czasami jak by to napisała Eta podróżuje się przez Dżunglę Amazońską

Piotr 10: Racja ^^ . Najważniejsze, że sobie poradziłem z tym zadaniem

pigor: ... . Udowodnij, że jeżeli a≥b>0 to ¹₂(a+b)−√ab ≥ ¹_8a(a−b)². −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− , no to może jeszcze nieco inaczej, np. tak : dla a ≥b>0 mamy ciąg nierówności równoważnych : ¹₂(a+b)−√ab ≥ ¹_8a(a−b)² /*2 ⇔ ⇔ √a²+√b²−2√ab ≥ ¹_4a(√a²−√b²)² /*4a ⇔ ⇔ 4a(√a−√b)² ≥ (√a−√b)²(√a+√b)² / √ ⇔ ⇔ 2√a(√a−√b) − (√a−√b)(√a+√b) ≥ 0 ⇔ (√a−√b)(2√a−√a−√b) ≥ 0 ⇔ ⇔ (√a−√b)(√a−√b) ≥ 0 ⇔ (√a−√b)²≥ 0 prawda . c.n.u. . ...

pigor: ..., a może teraz chętni spróbują pobawić się z nierównością podwójną w zadaniu : Wykazać, że jeżeli a>b>0, to ¹_8a(a−b)² < ¹₂(a+b)−√ab < ¹_8b(a−b)².

ZKS:

(a − b)2		a + b		(a − b)2
	<		− √ab <		/ * 2
8a		2		8b

(a − b)2		(a − b)2
	< (√a − √b)2 <		/ √
4a		4b

a − b		a − b
	< √a − √b <
2√a		2√b

a − b − 2a + 2√ab		a − b − 2√ab + 2b
	< 0 <
2√a		2√b

−(√a − √b)2		(√a − √b)2
	< 0 <
2√a		2√b

−(√a − √b)2
	< 0 dla a > b > 0
2√a

(√a − √b)2
	> 0 dla a > b > 0.
2√b