Rekurencja - metoda repertuaru - sprawdzenie parallel: Czesc. Prosilbym o sprawdzenie i korekte rozwiazania zadania metoda repertuaru a₁ = −3 a_n+1 = a_n − 4n + ¹₂, n ≥ 1 . Dla wygody przeszktalcilem sobie wzor na: a_n = a_n−1 − 4n + 4¹₂ Zgodnie z algorytmem parametryzuje rownanie: f_n = αA(n) + βB(n) + γC(n) Rozpatruje 1 przypadek: f(n) = 1: a₁ = α = 1 1 = 1 +βn + γ ⇒ β = γ = 0 1 = A(n) 2 przypadek: f(n) = n: a₁ = α = 1 n = (n−1) + βn + γ ⇒ β = 0, γ = 1 n = A(n) + C(n) n =1 + C(n) ⇒ C(n) = n − 1 3 przypadek: f(n) = n² a₁ = α = 1² = 1 n² = (n−1)² + βn + γ n² = n² − 2n + 1 + βn + γ ⇒ β = 2, γ = −1 n² = A(n) + 2B(n) − C(n) n² = 1 + 2B(n) − n −1 ⇒ B(n) = ^{n2 + n}₂ Jako, że mam już A(n), B(n) i C(n) to rozwiązanie będzie miało postać: f_n = −3 − 4(^{n2 + n}₂) + 4¹₂(n − 1) f_n = −2n² + 2¹₂n − 7¹₂ Wydawalo mi sie, ze wszystko robie poprawnie, ale wole zapytac kogos kto sie na tym zna, dlatego pisze

Trivial: Nie znam metody "repertuaru", ale mogę sprawdzić innym sposobem. Zamieniając oznaczenia równania wyjściowego mamy:

	1
ak+1 − ak = −4k +		, a1 = −3
	2

Teraz sumujemy obie strony równania od k=1 do k=n−1 i mamy:

	1		n(n−1)		1
an − a1 = ∑k=1..n−1 (−4k +		) = −4		+		*(n−1)
	2		2		2

Korzystając z tego, że a₁ = −3 mamy: a_n = −2n² + 2¹₂n − 3¹₂.

parallel: Dzięki. Odlotowa metoda. Mógłbyś napisać jak ona się nazywa? Przestudiuje sobie ją.

parallel: Dzięki. Odlotowa metoda. Mógłbyś napisać jak ona się nazywa? Przestudiuje sobie ją. Jednakże niezależnie od tego zależało by mi również na repertuarze

Trivial: Metoda się nie nazywa. To podstawowe własności rachunku różnicowego i sum skończonych. http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Matematyka_dyskretna_1/Wyk%C5%82ad_4:_Sumy_sko%C5%84czone_i_rachunek_r%C3%B3%C5%BCnicowy Własności te można wykorzystać do rozwiązywania rekurencji typu: a_n+1 = a_n + f(n) a_k+1 − a_k = f(k) Sumujemy od k = n₀ do n−1 i mamy: a_n − a_n0 = ∑_k=n0..n−1 f(k) a_n = a_n0 + ∑_k=n0..n−1 f(k) O ile zdołamy policzyć sumę ∑_k=n0..n−1 f(k) to rozwiązaliśmy równanie rekurencyjne. a_n0 jest warunkiem początkowym.