Zbadać zbieżność szeregu kamil123: Witam. Mogli byście pomóc z tymi dwoma szeregami:Zbadać zbieżność szeregu: ∞

	1		1
∑n=1		*cos
	n		n

∞

	1
∑n=2		*ln (n+1n−1)
	√n

Z góry wielkie dzięki.

Godzio:

1		2
	ln[(1 +		)n−1]
√n(n − 1)		n − 1

	1
∑		− szereg zbieżny
	√n(n − 1)

	2
ln[(1 +		)n−1] − ciąg rosnący i ograniczony
	n − 1

Zatem na mocy kryterium Abela wyjściowy szereg jest zbieżny. Jeżeli czegoś nie rozumiesz to pytaj

Godzio:

	1
Co do pierwszego, weźmy ciąg
	n

1   1   cos n   n		1
	= cos		→ 1
1   n		n

	1
Więc z kryterium ilorazowego z rozbieżności szeregu ∑		wynika rozbieżność szeregu
	n

	1		1
∑		cos
	n		n

kamil123: do jednego mam pytanie bo nie wiem dlaczego ten ciąg jest ograniczony ?

Godzio: To co w logarytmie jest rosnące (to chyba powinieneś mieć na wykładzie) i ograniczone (dąży do e²). Jeżeli nałożymy na to logarytm o podstawie > 1 (a ln jest takim logarytmem) to te własności się nie zmieniają,

	2
(dla n = 2) 3 < (1 +		)n − 1 < e2
	n − 1

	2
ln3 < ln(1 +		)n − 1 < lne2 = 2
	n − 1