Sprawdzenie zadania Piotr 10: Wykaż, że nie istnieje wielomian W(x) stopnia trzeciego o współczynnikach całkowitych, który spełnia warunki: W(2)=3 i W(−2)=2. Rozwiązanie: Twierdzenie:Jeżeli W(x) jest wielomianem o współczynnikach całkowitych, to dla dowolnych liczb całkowitych x≠y liczba W(x)−W(y) dzieli się przez x−y. Niech będzie tak: x=2 oraz y=−2 Gdyby wielomian miał współczynniki całkowite, to byłaby podzielność liczby W(x)−W(y)=W(2)−W(−2)=3−2=−1 przez x−y=2−(−2)=4 Liczba (−1) nie jest podzielna przez 4, a zatem W(x) nie jest wielomianem stopnia trzeciego o współczynnikach całkowitych c.n.u Proszę o sprawdzenie zadania Znam też inny sposób tego zadania, podobny do tego co pan Jakub zaprezentował https://matematykaszkolna.pl/strona/3663.html ,ale chciałbym się dowiedzieć czy tym sposobem też można zrobić te zadanie.

Kamil: Jeżeli to rzeczywiście jest prawidłowe twierdzenie: Twierdzenie:Jeżeli W(x) jest wielomianem o współczynnikach całkowitych, to dla dowolnych liczb całkowitych x≠y liczba W(x)−W(y) dzieli się przez x−y. To zadanie również jest prawidłowe

Piotr 10: Tak. Dane twierdzenie dotyczące wielomianów mam ze strony zadania.info jak coś

Piotr 10: Jeśli mógłbym prosić kogoś jeszcze o potwierdzenie tego, co napisał Kamil byłbym bardzo wdzięczny .

Mila: x=2 oraz y=−2 w(2)=3 w(−2)=2 w(2)−w(−2)=3−2=1 x−y=2−(−2)=4 1 nie jest podzielne przez 4 Dowód tw. a,b,c,d∊C x,y∊C,x≠y w(x)=ax³+bx²+cx+d w(y)=ay³+by²+cy+d w(x)−w(y)=a(x³−y³)+b(x²−y²)+c(x−y)= =a*(x−y)(x²+xy+y²)+b*(x−y)*(x+y)+c*(x−y)=(x−y)*[a*(x²+xy+y²)+b*(x+y)+c] [a*(x²+xy+y²)+b*(x+y)+c]∊C

Piotr 10: OK. Dzięki Mila jutro to przeanalizuję, bo już idę spać