rownanie zadanie:

	n k		k 2
rozwiazac rownanie 3*		=		w liczbach naturalnych n≥4, k≥2.

n(n−1)(n−2)(n−3)		k(k−1)
	=		i co dalej?
8		2

Basia:

	n k
a skąd Ci się wzięło to po lewej ? 3*		to to nie jest

dobrze przepisałeś treść ?

zadanie:

	n 4
powinno byc 3*

Basia: n(n−1)(n−2)(n−3) = 4k(k−1) 4*3*2*1 = 4*3*2 czyli n=4 i k=3 pytanie czy są inne rozwiązania ? muszę pomyśleć

zadanie: ?

Basia: nie ma; jestem tego pewna, ale uzasadnienia mi brakuje chyba nie myślę dzisiaj sprawnie może jak się ochłodzi

Mila: n=5 k=6 5*4*3*2=120 4*6*5=120

	5 4
3*		=3*5=15

6 2
	=15

	n2−3n+2
k=
	2

Wyprowadziłam ten wzór, ale może Basieńko sprawdzisz, bo przy tym upale, to mogłam coś pokręcic. Skorzystałąm z wlasności: 1)Iloczyn 4 kolejnych liczb naturalnych powiększony o jeden jest kwadratem pewnej liczby naturalnej. 2) postać kanoniczna k(k−1)

Mila: Czy autor ma jakieś odpowiedzi albo sugestie podane przy treści zadania?

zadanie: tak

Mila: Jaka jest odpowiedź albo podpowiedź?

zadanie: mam do niego rozwiazanie ale nie rozumiem go do konca dlatego dalem je do rozwiazania zobaczyc czy mozna inaczej to zrobic zaraz je napisze i poprosze o wytlumaczenie wlasnie w nim pojawilo

	n2−3n+2
sie k=		i tego nie rozumiem
	2

Mila: No widzisz, teraz wszystko jasne. n(n−1)(n−2)(n−3) = 4k(k−1) to jest jasne? To zacznę od tego miejsca.

zadanie: rozwiazanie: przeksztalcajac lewa strone rownania otrzymujemy

	n 4		n(n−1)(n−2)(n−3)		(n2−3n)*(n2−3n+2)
3*		=		=		=
			8		8

=nie umiem tego napisac tak jak tam jest wiec (dlatego tak dlugo to pisalem)

	n2−3n		n2−3n
=w liczniku		*(		+1) i w mianowniku 2 =symbol Newtona u gory
	2		2

	n2−3n
		+1 na dole 2
	2

zatem dane w zadaniu rownanie jest spelnione dla dowolnej liczby naturalnej n≥4 oraz

	n2−3n+2		(n−1)*(n−2)		n−1 2
k=		=		=
	2		2

koniec wlasnie nie rozumiem tego z tym k moglbym prosic o jego wytlumaczenie i skad sie wzielo?

zadanie: tak mozesz zaczac od tego miejsca

Mila: 19:03 Czy wiesz skąd to jest? Chcę wytłumaczyc trochę inaczej ( może prościej?)

Mila: Zaczynam>

Mila: n(n−1)(n−2)(n−3) = 4k(k−1) /:4

n(n−1)(n−2)(n−3)
	=k2−k
4

	1		1
k2−k=(k−		)2−		postać kanoniczna
	2		4

n(n−1)(n−2)(n−3)		1		1		1
	=(k−		)2−		/+
4		2		4		4

n(n−1)(n−2)(n−3)		1		1
	+		=(k−		)2⇔
4		4		2

n(n−1)(n−2)(n−3)+1		1
	=(k−		)2 /pierwiastkuję obustronnie
4		2

	1		√n(n−1)(n−2)(n−3)+1
(***) k−		=
	2		2

Pod pierwiastkiem masz iloczyn 4 kolejnych liczb naturalnych powiększony o 1 i jest to równe kwadratowi pewnej liczby naturalnej.( Przy własnościach liczb naturalnych jest wykazywane) Do tego można różnie dojść: 1) sposób n(n−1)(n−2)(n−3)+1=p², p∊N L=n⁴−6n³+11n²−6n+1 (n²+mn+1)²=n⁴−6n³+11n²−6n+1 n⁴+m²n²+1+2n³*m+2n²+2m*n=n⁴−6n³+11n²−6n+1 2m=−6⇔m=−3 spr. czy zgodzi się przy n² 2+m²=11 2+9=11 czyli mamy n(n−1)(n−2)(n−3)+1=(n²−3n+1) 2) drugi sposób później Wracamy do (***)

	1		√(n2−3n+1)2
k−		=
	2		2

	1		n2−3n+1
k=		+
	2		2

	n2−3n+2
k=
	2

Analizuj, ja idę zrobić mężowi kolację. Pytania później, może nie ma litrówek.

zadanie: nie wiem skad wzielo sie 2m=−6 spr. czy zgodzi sie przy n² i tam powinni byc chyba n(n−1)(n−2)(n−3)+1=(n²−3n+1)² jednak poprosilbym o drugi sposob

Mila: Słusznie, opuściłam (²) Zaraz uporządkuję, to zobaczysz : n⁴+m²n²+1+2n³*m+2n²+2m*n=n⁴−6n³+11n²−6n+1 n⁴+(2m)*n³+(m²+2)*n²+(2m)*n+1=n⁴−6n³+11n²−6n+1 porównuje wsp. wielomianów przy n⁴ mamy a₄=1 przy n³ mamy (2m)=−6 stąd m=−3 Przy n² mamy (m²+2)=11 sprawdzone wyżej przy n mamy 2m=−6 II sposób {[n*(n−3)]*(n−1)(n−2)}+1= =(n²−3n)*(n²−3n+2)+1 robię podstawienie t=(n²−3n) =t*(t+2)+1=t²+2t+1=(t+1)²=(n²−3n+1)²

zadanie: dziekuje bardzo

Mila: Jaką dasz odpowiedź do zadania?

zadanie: no wlasnie bo polecenie bylo rozwiazac rownanie a samych konkretnych rozwiazan nie bylo to pewnie ogolne postacie sa rozwiazaniami rownania dla liczb podanych wczesniej w dziedzinie czy tak?

Mila: Dla n≥4 i n∊N₊

	n2−3n+2
k=
	2

sprawdzić czy k spełnia założenia.(to znaczy czy k∊N₊ i k≥2)

zadanie: mozna za pomoca indukcji matematycznej

zadanie: albo i nie

zadanie: bo tak to jak sprawdzic?

Mila:

	n2−3n+2
k=
	2

n≥4 i n∊N₊ 1⁰ n=parzyste n=2p, p∊N₊,p≥2

	4p2−3*2p+2
k=		=2p2−3p+1∊N
	2

kiedy k≥2 ?⇔ 2p²−3p+1≥2 2p²−3p−1≥0 Δ=9+8=17

	3+√17		3−√17
p=		lub p=
	4		4

	3+√17
1<		<2
	4

	3+√17
⇔k≥2 dla p>		tym bardziej dla p≥2
	4

2⁰ n − nieparzyste n=2p+1, p≥2

	n(n−3)+2		(2p+1)(2p+1−3)+2
k=		=		dokończ
	2		2

zadanie:

	(2p+1)(2p−2)+2
k=
	2

	4p2−2p
k=
	2

k=

zadanie: i dalej

zadanie: k=2p²−p 2p²−p≥2 2p²−p−2≥0 Δ=1+16=17; √Δ=√17

	1+√17
p=U{1−√17}{4] lub p=
	4

zadanie:

	n k		n
czy prawda jest, ze		rosnie dla k w zakresie 0≤k≤		?
			2

Mila: k=(2p²−p)∊C ( tam u góry też ma być C, a potem do N₊) Kiedy 2p²−p≥2 2p²−p−2≥0 Δ=1+16=17 i tak samo , interesują Cię tylko p∊N₊ i p≥2

	1+√17		1−√17
p≥		lub p≤		∉D
	4		4

	1+√17
k≥2 dla p≥		i p∊N+, czyli tym bardziej dla p≥2
	4

Myślę, że to aż nadto duża dokładność.

zadanie: dziekuje bardzo

Mila: Dobranoc