wzory skroconego mnozenia zadanie: Czy podana liczba jest podzielna przez 13 ? 12²⁰¹⁸ +1

ICSP: nie jest bo 12²⁰¹⁸ = 1 mod 13

zadanie: a jak do tego dojsc bez kongruencji?

ICSP: dobre pytanie

zadanie: ok Czy kwadrat dowolnej liczby całkowitej podzielnej przez 6 jest podzielny przez 12, 8, 4, 9?

zadanie: jak do tego dojsc?

ICSP: wiemy że 6 | a zatem 36 | a² Stąd jeżeli liczba jest podzielna przez 6 to jej kwadrat jest podzielny przez 6² = 36 Odpowiedz teraz na swoje pytanie

zadanie: nie jest podzielny tylko przez 8

ICSP:

zadanie: bo pytanie jest czy kwadrat dowolnej liczby calkowitej a nie dowolnej bo wlasnie np. 36 nie jest podzielne przez 8 a dowolnej to inaczej kazdej?

ICSP: np kwadrat liczby podzielnej przez 4 będzie podzielny przez 8 bo 4² = 16 a 8 | 16

zadanie: a dowolnej to inaczej kazdej?

Basia: tak; dowolna = każda

zadanie: n I m ⇒ n² I m² czy jest to prawdziwe dla kazdej (dowolnej) liczby calkowitej?

ICSP: Basiu a masz pomysł jak rozwiązać to pierwsze zadanie bez wykorzystania kongruencji ?

ICSP: jest to prawdą.

zadanie: a odwrotnie tez jest prawdziwe dla kazdej liczby calkowitej n² I m² ⇒ nI m ?

ICSP: odwrotnie już niestety nie

zadanie: a jakis przyklad do tego ?

ICSP: 16 | 64 ⇒ 4 | 8 ale również 4 | −8

Basia: @ICSP niestety nie mam; próbowałam pokombinować, ale na razie nic z tego nie wyszło

zadanie: ale chodzilo mi o kontrprzyklad

Basia: mam pomysł 12²⁰¹⁸+1 = (13−1)²⁰¹⁸+1 = ∑_n=0,...,2018 13ⁿ*(−1)²⁰¹⁸⁻ⁿ + 1 = 13⁰*(−1)²⁰¹⁸ + ∑_n=1,...,2018 13ⁿ*(−1)²⁰¹⁸⁻ⁿ + 1 = 2 + ∑_n=1,...,2018 13ⁿ*(−1)²⁰¹⁸⁻ⁿ

zadanie: bo jezeli nie jest to prawdziwe odwrotnie to jaki moze byc do tego przyklad pokazujacy to ?

zadanie: ?

Mila: |)sposób 12=−1 (mod13) /²⁰¹⁸ 12²⁰¹⁸=1 mod 13) /+1 12²⁰¹⁸+1=2 (mod13) II) sposób x=12 W(x)=x²⁰¹⁸+1 badamy czy jest podzielny przez (x+1) w(−1)=2 Wnioski wyciągaj sam.

zadanie: dziekuje

zadanie: jakby byla podzielna to w(−1)=0 tak? a dlaczego spr. czy jest podzielny przez (x+1) ?

Mila: Jako x oznaczyłam liczbę 12. x=12 x+1=13

zadanie: ok

zadanie: czy istnieja takie liczby pierwsze p i q, ze liczba q jest od liczby p wieksza o 100% i np. dla p=2 i q=3 byloby: 2−−−−−100% 3−−−−−x% x=150% ; 150%−100%=50% czyli liczba 3 jest wieksza od liczby 2 o 50% dobrze jest to obliczone ?

Mila: p − pewna liczba pierwsza q − liczba o 100% większa od liczby p ułóż równanie.

zadanie: q=p+100%p=p+1*p=p+p=2p tak?

Mila: Zatem jaki wniosek?

zadanie: nie istnieja bo 2p to liczba parzysta tak?

Mila: 2 jest jedyną parzystą liczbą pierwszą q=2p>2, jako liczba podzielna przez jest liczbą złożoną. Nie istnieją liczby pierwsze p i q spełniające dany warunek.

zadanie: a to obliczone wczesniej (przykladowe), ze liczba 3 jest wieksza od liczby 2 o 50% jest dobrze?

Mila: Dobrze, 3 jest większe o 50 % od 2.