Granica ciagu Garth: A wiec, zaczalem sie wlasnie uczyc granicy ciagu i chcialbym przedstawic do oceny moje postrzeganie tego zagadnienia, aby sie upewnic, czy jest ono wlasciwe, czy nie. Posluze sie wykresem XOY w troche innej perspektywie, niz zazwyczaj oraz przykladowym ciagiem − a_n [nie okresle go zadnym wzorem]. |a_n −g| < ε Liczba g jest granica ciagu ⇔ , gdy dla kazdej liczby dodatniej ε prawie wszystkie wyrazy ciagu a_n znajduja sie w odleglosci mniejszej niz ε od g. Lub inaczej: liczba g jest granica ciagu (a_n) wtedy i tylko wtedy, gdy dla kazdej liczby dodatniej ε istnieje taka liczba δ, ze dla kazdej liczby naturalnej n > δ zachodzi nierownosc |a_n − g| < ε A wiec w przypadku mojego przykladowego ciagu, co nastepuje: |a_n − 7| < ε Jak rozumiem ta nierownosc odnosi sie wylacznie do osi OY. Granica jest 7 − zbiegaja bowiem do niego wszystkie wartosci ciagu. ε = 3, − prawie wszystkie wyrazy ciagu znajduja sie w odleglosci mniejszej niz 3 od y = 7 [czyli zawieraja sie w przedziale y∊(4,10) δ = 5 [tutaj akurat niech bedzie to umowne, bo jak widac na wykresie nie jest to tak idealnie przedstawione − szkoda, ze nie ma gumki w panelu rysowania ], a wiec wszystkie wyrazy ciagu wieksze od 5 [czyli a₆, a₇, a₈,...] znajduja sie w odleglosci mniejszej niz ε od g. Czy jest to poprawne rozumowanie? Troche juz pozno jest, wiec moglem tez zapomniec o czyms wspomniec, wiec mozliwe, ze jeszcze jutro dorzuce kilka pytan. Z gory dziekuej za pomoc

Garth: Zapomnialem nakreslic δ na moim wykresie, ale juz jutro to zrobie

fx: Jeżeli uczysz się na studia, a nie idziesz na matematykę to definicja granicy nie jest Tobie zbytnio potrzebna − wtedy wystarczy sama idea − gdy zbliżamy się do granicy to odległość między wyrazami maleje.

Garth: No coz, ucze sie na studia i ide wlasnie w pazdzierniku na matematyke [stosowana]. Uznalem, ze w wystarczajacym stopniu nadrobilem zaleglosci [przynajmniej te, ktorych nienadrobienie skutkowalo by pewna porazka na studiach] ze szkoly sredniej i jestem gotow zaczac sie uczyc matematyki wyzszej.

asdf: http://www.youtube.com/watch?v=9QqyCzS7XcU&feature=share&list=PL797C7389C3FF6B5F jak nie zrozumiesz to spróbuje wyjaśnić łopatologicznie

Garth: @asdf − wydaje mi sie, ze doskonale to rozumiem i to samo odzwierciedla moj pierwszy post, wiec albo doszukales sie w nim jakiejs niezgodnosci, albo w ogole go nie czytales tylko po prostu zalozyles, ze w ogole nie rozumiem tego zagadnienia. Prosze o wyjasnienie.

asdf: Przyznaje − nie czytałem, bo już mi się literki zlewały od soku (), dałem po prostu link, jeżeli to Ciebie w jakis sposob obraziło (nie mialem takich zamiarów i nie powinno) to przepraszam

Garth: Bynajmniej mnie to nie obrazilo, w koncu tez chciales w pewien, mimo, ze nie akurat ten, ktory byl mi potrzebny, sposob, pomoc. Chociaz troszke mnie koledzy skolowaliscie, bo z kolei post fx lekko sugeruje, ze to co napisalem to kompletna bzdura i wrecz odradza mi jakiekolwiek proby zrozumienia tego zagadnienia. Tak wiec pytanie jest jak najbardziej aktualne dla tych, ktorzy chcieli by sie zapoznac z ta sciana tekstu. Gwoli scislosci − wykres narysowalem w innej perspektywie [tak, ze patrzymy 'naturalnie' na wykres OY, poniewaz sama definicja granicy dotyczy tego wykresu].

asdf: Pamiętam, że na pierwszym kolokwium z granic miałem udowodnic z definicji granicę ciągu, a jej zrozumienie tylko ułatwia sprawę. Na egzaminie miałem napisać definicję granicy funkcji (z tw. Hainego) i udowodnić brak granicy..trochę teorii wymagają, a to, że idziesz na studia matematyczne to zrozumienie takich zagadnien powinno być Twoim "własnym" obowiązkiem. Podobnie jest z pochodną z definicji − nie trzeba umieć liczyć, bo są już wzory, ale umieć − przydatna rzecz

asdf: A z definicją granicy ciągu jest taka sprawa, że ona jest zbyt prosta, żeby od razu ją zrozumieć tak jest według mnie..bo później się przekonasz, że to banał

Garth: "A z definicją granicy ciągu jest taka sprawa, że ona jest zbyt prosta, żeby od razu ją zrozumieć tak jest według mnie..bo później się przekonasz, że to banał" A wiec ostatecznie − moje rozumowanie przedstawione w pierwszym poscie jest bledne? Prosilbym, w miare mozliwosci, o skorygowanie tego, czego nie rozumiem, bo wydaje mi sie, ze akurat ja rozumiem. "na pierwszym kolokwium z granic miałem udowodnic z definicji granicę ciągu" − jak rozumiem, majac podany przykladowy ciag? Bo sam robilem juz troche takich zadan, co prawda troche schematycznie, bo mam w ksiazce przedstawiony schemat, no ale nie mialem z tym jakichs wiekszych trudnosci, natomiast same zadania [jak dotad] na wyznaczenie granicy [oczywiscie na razie tych prostszych ciagow] robie bezblednie.

asdf: Troche chaotycznie napisales pierwszy post..podeslalem Ci linka i jak tak rozumiesz to ok, jak chcesz to policz sobie taką granicę: 1. wykazać, że granicą ciągu a) a_n = ⁿ√5 jest 1

	−1
b) an = (		)n jest 0
	2

	1
2. Udowodnić, że granicą ciągu		nie jest 1
	n

odpowiedzi: 1. a − n > log_1/2ε

	1
1. b − n >
	log5(ε+1)

w 1.b − tu należy się komentarz przy opuszczaniu logarytmu, jezeli wiesz o co chodzi, jezeli nie to podesle rozwiązanie.

Garth: 2. Dowod nie wprost. n ≥ 1, ε > 0

	1
|		− 1| < ε
	n

	1−n
|		| < ε
	n

n−1
	< ε
n

n−1 < nε n + nε < 1 n(1 + ε) < 1

	1
n <
	1 + ε

1
	bedzie zawsze mniejsze lub rowne zeru, co jest sprzeczne z n ≥ 1, poprawnie?
1 + ε

Garth: W pierwszym zadaniu szczerze powiedziawszy mam problem z przeksztalceniem potegi w logarytm [chyba bedzie trzeba powtorzyc sobie logarytmy ]. | ⁿ√5 − 1| < ε ⁿ√5 − 1 < ε 5^1/n = ⁿ√5 < ε + 1

asdf: miałeś takie coś? 5^1/n < ∊ + 1 log₅5^1/n < log₅(∊+1) // tutaj trzeba zaloz od razu, ze logarytm ten jest liczbą dodatnią(log₍∊+1) > 0, bo ∊> 0, a z wykresu logarytmu, log₅x >0 dla każdego x > 1, więc nie zmieniamy znaku, ponieważ

1
	< log5(∊+1)
n

	1
n >
	log5(∊+1)

asdf: te "ponieważ" nie bierz pod uwage, dopisywalem do srodka zdania, a zapomnialem tamto usunac.

asdf: do zadania drugiego: tak, nie chcę się czepiać, a jedynie Ci podpowiedzieć Tu w tym wszystkich teraz chodzi o to, że te n − punkt/miejsce/moment od ktorego kazde kolejne wyrazy ciagu mieszcza sie w pasku epsilonowym nie istnieje, ponieważ jest "do momentu", a nie "od momentu", rozumiesz?

asdf: przykładowo, jakby wyszło:

	1000000
n <		, no to oczywiście znajdę taki epsilon, ktory da wartość większą od 1, ale
	1 + ∊

w definicji jest wyraźnie "dla każdego epsilona", a nie "istnieje taki epsilon"

Garth: Do pierwszego − tak, wlasnie doszedlem do takiego momentu i dalej juz teraz rozumiem, dzieki. Zaraz sprobuje drugi przyklad z pierwszego rozgryzc − na razie nie dawaj mi gotowca. Do drugiego zadania − tak, chyba to rozumiem, jedynie wyrazy ciagu mniejsze od jeden [mniejsze

	1
dlatego, ze		∊ (0,1> dla kazdego ε > 0], czyli na przyklad a0, a−1, a−2, ...
	1 + ε

itd. znajdowaly by sie w tym pasku, jednakze pamietamy, ze ciag jest to funkcja, ktora przyjmuje wartosci jedynie dla argumentow naturalnych dodatnich.

asdf: Jest taka funkcja "całość z", zapoznasz się z nią na wykładach Jeżeli jednak chcesz to mogę ją opisać, która określa dla jakiego epsilona wszystkie wyrazy ciągu (począwszy od pierwszego) w pasku epsilonowym, a kiedy od jakiegoś wyrazu.

Garth: W odpowiedziach do pierwszego zadania pomieszales tez chyba odpowiedzi? Nie powinny byc odwrotnie? Z kolei wyszlo mi troche inaczej dla b)

	−1
|(		)n − 0| < ε
	2

	−1
|(		)n| < ε
	2

	1
(		)n < ε
	2

1
	< ε
2n

	1
2n >
	ε

	1
log22n > log2
	ε

	1
n > log2
	ε

A u Ciebie wyszlo, ze n > log_1/2ε Chetnie poslucham o tej funkcji. I dzieki za dotychczasowa pomoc.

Garth: Aha, i tutaj "która określa dla jakiego epsilona wszystkie wyrazy ciągu (począwszy od pierwszego) w pasku epsilonowym, a kiedy od jakiegoś wyrazu." chyba zgubiles czasownik?

ZKS: To jest to samo.

	1
loga		= logab−1 = −logab = loga−1b = log1/ab
	b

Garth: Rzeczywiscie, dzieki, naprawde bede sobie musial powtorzyc logarytmy.

asdf: Zadania z logarytmów mam jeszcze w notatkach z pierwszego semestru, proszę, jak będą za trudne na początek − nie szkodzi A jak juz to podesle latwiejszy zestaw: http://www.speedyshare.com/3wdKu/logarytmy2.JPG O tej funkcji "całość z" napiszę już jutro

Garth: Dzieki za logarytmy, jutro juz chyba poprobuje, jesli sie nie myle mam przeksztalcic lewa strone na prawa lub na odwrot?

Garth: No i jeszcze jedno − lg znaczy to samo co log?

fx: lg to oznaczenie log₁₀

asdf: lg(x) = log₁₀(x) ln(x) = log_e(x)

Garth: Racja, chociaz samo log tez jest w sumie uzywane do oznaczenia logarytmu dziesietnego i chyba po prostu sie juz blednie przyzwyczailem, ze to jedyne jego oznaczenie.

asdf: np w USA log oznacza logarytm naturalny (ln)

fx: Jest wiele takich oznaczeń, które np. za granicą naszego kraju są inne. Choćby polski tg i ctg − w większości publikacji zagranicznych funkcjonują jako tan i cot. Podobnie z funkcjami odwrotnymi do trygonometrycznych − u nas − arcsin, arccos, arctg na zachodzie sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹. Funkcje area analogicznie. Dużo takich nieścisłości w jakże ścisłej matematyce .

asdf: " jesli sie nie myle mam przeksztalcic lewa strone na prawa lub na odwrot?" − czasem wystarczy przerzucic na lewą strone, przyrownac do zera, skorzystac z niektorych wlasnosci logarytmu itd, chodzi o to, zeby nabrac wprawy...jak nie miales za duzo dzialan na logarytmach w szkole sredniej to Ci podesle latwiejsze zestawy − to będzie chyba troche za trudne, aczkolwiek życzę Ci powodzenia i wytrwałości Ja się z tego zestawu nauczylem liczyc logarytmy i nie mialem z nimi problemu pozniej

Garth: Tzn powiem tak − na pierwszy rzut oka wydaja sie byc dosc trudne, w szkole, czy tez samodzielnie, rozwiazywalem o wiele latwiejsze na poziomie szkoly sredniej, takze jesli to mozliwe to prosilbym tez o latwiejszy zestaw, z ktorego moglbym policzyc chociaz kilka na rozgrzewke przed tymi trudniejszymi [ co i tak, tak jak wspomnialem, nastapi dopiero jutro]. Jutro sprobuje tez popracowac nad tymi trudniejszymi, czy z powodzeniem, czy nie, zobaczymy. Z tego, co patrzylem, to na pierwszym semestrze mam miec rowniez taki przedmiot jak "repetytorium z matematyki" i z tego co udalo mi sie dowiedziec bedzie to swojego rodzaju powtorka ze szkoly sredniej, takze pewnie jeszcze bedzie sie mozna douczyc czegos [podobno jest tam tez powtorka wlasnie z logarytmow]. Dziekuje

asdf: Można zaliczyć matematykę bez przygotowania się do niej Mnie się to udało z dużym jak dla mnie sukcesem, a nic się nie przykładałem w wakacje, więc spokojnie. Repetytorium − nie miałem takiego czegoś, a oba semestry zaliczone Dobrze, ze chcesz się teraz czegos pouczyc, bo pozniej będziesz miec duuuzo lżej. Łatwiejszy zestaw: http://speedy.sh/4RsZf/Zadania-z-logarytmow-dla-I-roku-Inf.doc Co do rozwiązań − sprawdzaj z wolframem najlepiej, odpowiedzi często są złe.

fx: Jeżeli chcesz załapać mechanizmy rozwiązywania zadań z logarytmami to polecam "99 zadań o logarytmach z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku". Polecam też pozostałe zeszyty z tej serii − taki dawny wolframalpha . Tylko, że masz aż 99 przykładów setep−by−step za jakieś 10 złotych .

asdf: co do granic: google.pl → 310 granic krok po kroku

Garth: Logarytmy − z latwiejszego zestawu zrobilem na razie bez wiekszych problemow przyklady b oraz c z pierwszego zadania oraz a i b z drugiego. Co do a z pierwszego, dochodze do np. takiego momentu, i nie wiem, co by tu dalej mozna zrobic. 3^x−1+1/x = 4^x−2+1/x PS, jak w wolframie wpisac pierwiastek wiekszego stopnia niz 2? A tutaj do sprawdzenia granica, przy czym liczona z pomoca twierdzenia o trzech ciagach.

	1
lim
	√n2+1

1		1		1
	>		>
√n2		√n2+1		√n2+n2

1		1		1
	>		>
n		√n2+1		n√2

	1		1		1
lim		= lim		= 0 ⇒ lim		= 0, poprawnie, czy tez cos tu pokrecilem?
	n		n√2		√n2+1

Oczywiscie poza tym widac na pierwszy rzut oka, ze to jest wlasnie granica tego ciagu bez uzywania twierdzenia, ale chce wiedziec, czy dobrze sie nim posluzylem.

Garth: "PS, jak w wolframie wpisac pierwiastek wiekszego stopnia niz 2?" − juz znalazlem odpowiedz.

asdf: przyjęło się, że od wartości najmniejszych do największych się szacuje, czyli:

1		1		1
	<		<
n*√2		√n2+1		n

	1		1		1
reszta ok. Powinno się zapisać		=		=		z komentarzem, że są to
	√n2		|n|		n

argumenty → ∞ U mnie tego wymagała prowadząca, chociaż przy jednym zadaniu zaznaczyć, dlaczego tak "beztrosko" sobie opuszczam pierwiastki Później w granicach funkcji trzeba będzie patrzeć na granice argumentów

asdf: w pierwszym wydaje mi się, że jest błąd, tam powinno być

	3		4		9
(		)x−1 * (		)1/x =
	4		3		16

to spróbuj policzyć

Garth: To zmienia postac rzeczy, teraz wyszlo mi bezproblemowo. A tyle sie bawilem z tym blednym. Natomiast jeszcze sie zastanawiam co do przykladu a z drugiego zadania, bo wychodzi mi odrobine jedynie, inaczej.

	2		2
(		)x > (		)−1/4
	3		3

	1		1
x > −		, a powinno byc chyba: x < −		, nie wiem czemu.
	4		4

asdf: Już Ci napisałem, odpowiedzi sprawdzaj z wolframem: http://www.wolframalpha.com/input/?i=%282%2F3%29%5Ex+%3E+%282%2F3%29%5E%28-1%2F4%29

Basia: dlatego, że dla a∊(0,1) funkcja f(x) = a^x jest malejąca

asdf: tak samo: log_a(x) > log_a(x+1) ∀_{a ∊ (0,1) ⋀ x > 0}

Garth: Tez racja, a co znaczy ∀? Spotkalem sie juz z tym symbolem, ale jakos nigdy nie sprawdzilem jego znaczenia. Jak zabrac sie do trzeciego przykladu (c) z drugiego zadania z latwiejszego zestawu logarytmow? Bo cos nie moge sobie poradzic ze wzgledu na te siodemke.

Mila: czytaj strona 48 http://www.im.pwr.wroc.pl/~janicka/Talent/wd_am.pdf

Garth: Mila − chodzi o definicje i istote granicy ciagu? Tak naprawde zakladajac ten temat juz wiedzialem [bo nikt nie udowodnil, ze jest inaczej − o co prosilem, w przypadku gdyby tak bylo], na czym ona polega, ale dzieki mimo wszystko.

Garth: Sama publikacje tez wrzucam do zakladek, wiec tym bardziej dziekuje, bo moze jeszcze mi sie przyda.

Mila: Masz tam rozpisane rozwiązanie zadań− badanie granicy z definicji.

Garth: Tak, chociaz juz probowalem to robic i szczerze powiedziawszy zaczalem tez robic przyklad 2.2.2 z tejze wlasnie publikacji [strona wlasnie 48], i sie zatrzymalem na:

	1+2ε
n > log2		, jak dalej przeksztalcic? Tam juz w sumie chyba niewiele brakuje do konca −
	ε

	5+6ε
ma byc n > √
	4ε

Garth: asdf, w logarytmach [dalej latwiejszy zestaw] − zadanie 3, drugi podpunkt z przykladu a, tam ma byc:

	√2		√28
log(		)8, czy log		?
	4		4

asdf: z postaci: log_ab

√2
	= a
4

8 = b To zadanie można tak rozwiązać: log_2^1/2−28 = log_2^−3/28 = log_2^−3/22³ = −2

Mila: ε>0

	5
1)		>−ε
	2(2n2−3)

dla n>1 mianownik jest dodatni i spełniona jest nierówność dla każdego ε>0 2)

5
	<ε
2(2n2−3)

5−4n2*ε+6ε
	<0 i n∊N+
4n2−6

dla n>1 mianownik jest dodatni W takim razie : −4n²*ε+6ε+5<0 /:(−4ε)

	6ε+5
n2−		>0
	4ε

(n−√^6ε+5_4ε)*(n+√^6ε+5_4ε)>0⇔ n>√^6ε+5_4ε rozpatrujesz tylko parabolę po prawej stronie OY, dla n dodatnich Czy o to chodziło?

Garth: Ojejku, Mila, przepraszam, ja policzylem dla przykladu 2.2.3, co wyszlo mi zreszta dobrze, takze nie mam pytan co do tego, nawet nie przeczytalem jeszcze co wlasnie odpisalas − zaraz to zrobie i dodatkowo policze to w przykladzie 2.2.2, zeby sprawdzic, czy bede umial, jak nie to jeszcze dam znac. Dzieki jeszcze raz i przepraszam za klopot

Mila: Do logarytmu podstawiasz konkretne ε. Np.

	1
ε=
	10

	1
n>log2(		+2)=log2(12)
	1   10

3=log₂8<log₂(12)<log₂(16)=4 stąd n>4

Garth: Dany jest ciag okreslony rekurencyjnie. {a₁ = 3

	an−1 + 2
{an =		dla n > 1
	3

	3n−1 + 2
Wykaz, ze wzor ogolny ma postac an =		, a nastepnie oblicz jego granice.
	3n−1

1. n = 1 ⇒ an = 3 2. dla kazdego n > 1

	3n−1 + 2		3n + 2
[an =		⇒ an+1 =
	3n−1		3n

	3n + 2		3n−1 * 3 + 2
an+1 =		=		=
	3n		3n−1 * 3

3		3n−1 + 2		4		3		4
	*		−		=		* an −		=
3		3n−1		3n		3		3n

	4		an−1 + 2		4
an −		=		−		= ...?
	3n		3		3n

I jak dalej przeksztalcic? A moze w ogole zle sie za to zabieram? asdf − wieczorem chyba jeszcze sie wezme za te logarytmy, troche wolno mi to idzie bo glownie ucze sie granic, jesli Cie to zbytnio meczy, to powiedz, a przestane.

asdf: Nie męczysz mnie To co teraz robisz to jest rekurencja, czyli musisz rozpisać kilka wyrazów tego ciągu, podam Tobie przyklad, a Ty rozpiszesz swój ciąg. Np. a_n = a_n−1 + n a₁ = 3 a_n = a_n−1 + n = (rekurencja) a_n−2 + n + n−1 = (rekurencja) a_n−3 + n+n−1 + n − 3 = (uporządkowuje) = a_n−3 + 3n − 4 = (rekurencja) a_n−4 + 3n − 4 + n − 3 = (uporzadkowuje) a_n−4 + 4n − 7 = (rekurencja) a_n−5 + 4n − 7 + n − 4 = (uporzadkowuje) a_n−5 + 5n − 11 = ... a_n−k + kn − (2k −1) dla n − k = 1 otrzymujemy n = k+1 a₁ + k*(k+1) − (2k−1) =3 + k² + k − 2k + 1 = k² − k + 4 coś takiego..jak się nie pogubiłem to jest ok, później to sprawdzę, bo teraz muszę znikac i chciałem Ci tylko na szybkiego wytlumaczyc o co w tym chodzi ~15:30 wróce i sprawdze czy dobrze to zrobilem.

asdf: oczywiscie tu powinno byc odwolanie do zmiennej n, a nie k, więc spróbuj teraz sam: n −k = 1 −k = 1−n k = n−1 za k podstaw "n−1"

asdf: jest wiele sposobow dowodzenia tego, ja teraz spadam, pozniej Tobie pomoge.

Garth: W Twoim przykladzie chyba powinno byc: a_n−2 +2n −1 = a_n−3 + 3n − 3 = a_n−4 + 4n −6?

Garth: Przy zalozeniu, ze a_n = a_n−k + kn − (2k − 1) jest prawdziwe [a smiem twierdzic, ze w tym przykladzie nie jest ]: a_n = n² − 3n + 7 ⇒ a₁ ≠ 3, czyli chyba rzeczywiscie sie pomyliles, ale sama istote problemu zdolales mi mniej wiecej przyblizyc mimo tego.

asdf: tak, są wakacje, ja na razie odpoczywam i nie chce mi sie za bardzo myśleć Od nastepnego tygodnia dopiero ruszam, na razie ciesze się wolnością

Garth: Co wiec powinno byc na miejscu (2k − 1)? Bo jakos nie moge nic wymyslic.

use: @garth a gdzie na studia idziesz

Garth: Ide u siebie na miejscu − Politechnika Rzeszowska, wiec poziom raczej nie jakis bardzo wybitny.

asdf: http://www.mimuw.edu.pl/~guzicki/materialy/Rekurencja.pdf tu masz kilka rozwiązań równań rekurencyjnych, a tu lepiej: http://speedy.sh/pNghX/WdA-W2-Sprawnosc-algorytmow-v1-3-4.pdf od strony 53

fx: Nie zauważyłem aby ktoś odpowiedział autorowi jak wpisać pierwiastek dowolnego stopnia do wolframa. Odpowiadam: x^1/n = pierwiastek stopnia n z x.

Garth: @fx znalazlem juz wowczas sam, o czym zaraz po tym powiadomilem w kolejnym poscie. Chociaz sam znalazlem formule − n−th root of k

Garth: Rozpisalem sobie ten moj przyklad.

	3n−1 + 2
A mialem do udowodnienia, ze wzor ogolny wyglada tak:
	3n−1

{a₁ = 3

	an−1 + 2
{an =		dla n > 1
	3

	an−1 + 2		an−2 + 8		an−3 + 26		an−4 + 80
an =		=		=		=		=
	3		9		27		81

	an−5 + 242		an−k + 3k − 1
		=
	243		3k

n − k = 1 ⇒ k = n − 1

a1 + 3n−1 − 1		3 + 3n−1 − 2
	=		=
3n−1		3n−1

	3n−1 + 1		3n−1 + 2
=		≠
	3n−1		3n−1

Pomocy I dzieki zarazem

Garth: Oho, teraz przy czytaniu to zauwazylem. Moze powinienem rzeczywiscie sobie zrobic przerwe od tej nauki, szczegolnie w taka pogode.

	a1 + 3n−1 − 1		3 + 3n−1 − 2
Z		zrobilem		− co jest nieprawda, a po
	3n−1		3n−1

poprawce okazuje sie, ze zadanie dobrze jest zrobione. A na egzaminie trzeba by cos jeszcze dopisywac, czy taki dowod by wystarczyl?

Godzio: Dowód indukcyjny (chyba najłatwiej) Dla n = 1, oczywiste Załóżmy, że zachodzi dla pewnego n, dowiedziemy, że zachodzi również dla n + 1

	3n − 1 + 2		3n + 2
an =		⇒ an + 1 =
	3n − 1		3n

	an + 2		3n − 1 + 2   + 2 3n − 1
an + 1 =		=		=
	3		3

	3n − 1 + 2 * 3n − 1 + 2		3n + 2
=		=
	3n		3n

= korzystamy z założenia To co Ty zrobiłeś to nie jest dowód, a jedynie przypuszczenie, że tak jest. Jednakże nie wiem gdze u Ciebie tkwi błąd.

Garth: Ten blad juz znalazlem − opisalem go w kolejnym poscie o godzinie 17:33. Na poczatku probowalem wlasnie indukcja, co widac kilka postow wczesniej. Co do Twojego dowodu, to rozumiem cale przeksztalcenie, ale nie wiem jedynie, skad sie wziel ten poczatek: a_n+1 =

	an + 2
	3

Godzio: To jest ze wzoru rekurencyjnego. (post wysłałem zanim zobaczyłem, że napisałeś )

Garth: Rzeczywiscie. Teraz juz wszystko rozumiem, dzieki wielkie.

Garth: Wracajac do latwiejszego zestawu logarytmow, za ktory wlasnie sie zabralem. 10^2+2log7 = 10² * 10^log49 = 100 * 49 = 4900. Natomiast Wolfram|Alpha twierdzi, ze jest to liczba niewymierna, ktorej przyblizenie wyglada tak: 779507.50003375627004605122716681668973886634782383746 http://www.wolframalpha.com/input/?i=10%5E%282%2B2log7%29 Co robie nie tak?

ICSP: PO prostu nie umiesz wpisywać do wolframa. http://www.wolframalpha.com/input/?i=10%5E%282%2B2log7%29&a=*FunClash.log-_*Log10-

ICSP: Albo naucz się używać wolframa, albo z niego nie korzystaj.

Garth: :( − ucze sie. A nauczenie sie uzywania go wymaga wlasnie uzywania go.

fx: http://www.etrapez.pl/wolframalpha/ Jeżeli zapiszesz się na newletter otrzymasz całkiem przyjazne opracowanie traktujące o wykorzystaniu wolframa do komputerowego wsparcia obliczeń (również a może przede wszystkim − symbolicznych).

Garth: Dziekuje.

Garth:

2logx
	= 1
log(5x−4)

	4
x2 > 0 ∧ 5x−4 > 0 ⇒ x∊(		, ∞)
	5

logx2
	= 1 ⇔ log5x−4x2 = 1 ⇔ 5x−4 = x2 ⇔ (x−1)(x−4) = 0 ⇒ x = 4 ∨ x = 1
log(5x−4)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%282log%5B10%2C+x%5D%29%2F%28log%5B10%2C+5x-4%5D%29%3D1 Zle wyznaczylem dziedzine?

fx: Mianownik musi być różny od zera.

Garth: log₁₀(5x−4) ≠ 0 5x−4≠1 x≠1, dzieki, ja nadal zapominam, ze nie dzielimy przez zero!

Garth: 5^x+3 < 25 * 7^−x−1 ⇔

	1
⇔ 5x+3 < 52 * (		)x−1 ⇔
	7

	1
⇔ 5x+1 < (		)x−1 ⇔
	7

⇔ ... Ma ktos jakies pomysly na ten przyklad?

Garth: Maly blad

	1
... ⇔ 5x+1 < (		)x+1
	7

Mila:

5x+1
	<1
(1/7)x+1

35^x+1<1 dokończ

Garth: 35 * 35^x < 1 ⇔ ⇔ 35^x < 35⁻¹ ⇔ x < −1, dobrze? W jakich sytuacjach zmienia sie znak przy takich obliczeniach?

Mila: Na ogół tak rozwiązujemy. 35^x+1<1⇔ 35^x+1<35⁰ funkcja wykładnicza rosnąca⇔ x+1<0 x<−1

asdf: "W jakich sytuacjach zmienia sie znak przy takich obliczeniach?" W sytuacjach gdy funkja jest malejąca, czyli: log_a(b), a ∊ (0,1), b > 0 Przykład: log_¹e(x)

	1		1
(a =		, e ≈ 2,7, czyli		< 1) jak widać jest to funkcja malejąca
	e		2,7

asdf: jeszcze są funkcje cyklometryczne, np. y = arcctg(x), y = arccos(x) W takich przypadkach też trzeba pamiętać o znaku przy rozwiązywaniu nierówności.

Garth: Do zadania z godziny 13:45 z wczoraj, ktorego przeciez zapomnialem dokonczyc, bylo tam bowiem w drugiej czesci obliczyc granice tegoz ciagu.

	3n−1 + 2
an =
	3n−1

Oczywiscie udowodnilismy juz, ze powyzszy wzor jest prawdziwy, a wiec:

	3n:3 + 2		1   2   3n( + )   3   3n
liman = lim		= lim		= 1
	3n : 3		1   3n( )   3

Poprawnie? Z gory dzieki

asdf: tak, mozesz od razu 3ⁿ⁻¹ przed nawias, ale też jest ok

Garth: Dalej te logarytmy z latwiejszego zestawu. Zadanie 5. przyklad g. Jest tam log²₃x, co zrobic z tym fantem? Probowalem podzielic cale wyrazenie przez log₃x, ale pozniej nic nie wymysillem.

asdf: log²₃x + log₃x³ + 2 = 0 log²₃x + 3log₃x + 2 = 0 t = log₃x

asdf: P.S pamiętaj zawsze o dziedzinie.

Garth: Chyba cos mi nie wychodzi. D: x > 0 log₃x = t t² + 3t + 2 = 0 (t+1)(t+2) = 0 log₃(x+1)=0 v log₃(x+2)=0 x + 1 = 1 v x + 2 = 1 (x = 0 v x = −1) ∉ D Ale moze jakis strasznie glupi blad popelniam, juz nie mam nawet sily szukac. Dzieki za pomoc i dobrej nocy zycze, juz pewnie 'dzisiaj' tu nie zajrze.

asdf: t+1 = 0 ⇒ t = −1 ⇒ log₃x = −1 ⇒ (z definicji) 3⁻¹ = x t+2 = 0 ⇒ t = −2 ⇒....

asdf: dlaczego ty za x wstawiasz x+1? t = log₃x, czyli t+1 = 0 ⇒ log₃x +1 = 0

Garth: Sam nie wiem, skad mi tam cos takiego wyszlo. Wyszedlem z pracy wczoraj o 22, a to jeszcze bylo kolo polnocy, wiec juz chyba mialem prawo pisac takie glupoty. t = log₃x (t + 1)(t + 2) = 0 log₃x = −1 v log₃x = −2

	1		1
x =		v x =
	3		9

asdf: brawo jeszcze kilka przykladow i kolejny zestaw

Garth: Tak, chociaz nierownosci na razie nie robilem − w szkole nie bylo, sam tez nigdy nie rozwiazywalem, wiec wpierw poczytam sobie na ten temat w ksiazce − ale to juz jutro. Dokoncze zaraz chyba te ostatnie przyklady z piatego zadania. Niestety praca nie pozwala mi uczyc sie tyle, ile bym chcial. Dopiero od pazdziernika bede mogl sie calkowicie poswiecic matematyce. I moze tez troszke innym zajeciom.

Garth:

	1
log(2x + 4x) − log8 = log(2x−1 −		)
	4

D: 2^x + 2^2x > 0 ⇔ ...?

	1		1		1
2x−1 >		⇔ 2x >		⇔ log22x > log2		⇔ x > −1
	4		2		2

asdf: troche nakombinowałeś ale też dobrze D: 2^x + 4^x > 0 zawsze

	1
2x−1 −		> 0
	4

2^x−1 > 2⁻² x−1 > −2 x > −1

asdf: a poradziłeś sobie z tą równością?

Garth: Probuje ja rozgryzc. : Na razie tyle wymyslilem:

	1		2x+4x		1
log(2x + 4x) − log8 = log(2x−1 −		) ⇔ log		= log2x−1 −		⇔
	4		8		4

	2x		22x		1
⇔ log(		+		) = log2x−1 −		⇔
	23		23		4

⇔ log(2^x−3 + 2^2x−3) = log2^x−1 −2⁻² ⇔ ... Ale chyba bede musial sprobowac inaczej.

Mila:

	1		2x+22x
Dlaczego opuściłeś nawias , ma byc: log(2x−1−		)=log
	4		8

stąd:

	1		2x+22x
2x−1−		=		/*23
	4		23

dokończ

asdf:

	b
logab − logac = loga(		), pozniej to * c i juz masz prawie gotowe
	c

Garth: Rzeczywiscie naknocilem, i pozniej od poczatku probowalem, z tym, ze log8 przerzucilem na prawa strone i doszedlem wlasnie do tego: 2^x +2^2x − 2^x+2 = −2 Czy tak by dalej nie moglo byc (sprobuje tez zaraz za pomoca Twojego wzoru asdf)? 2^x + 2^2x + 2¹ = 2^x+2 log₂2^x + log₂2^2x + log₂2¹ = log₂2^x+2

	1
x + 2x + 1 = x + 2 ⇒ x =
	2

Garth: Wolfram cos nie chce podac dokladnego wyniku − albo to ja znowu zle wpisuje. http://www.wolframalpha.com/input/?i=log%5B10%2C+2%5Ex+%2B+4%5Ex%5D-log%5B10%2C+8%5D+%3D+log%5B10%2C+2%5E%28x-1%29+-+1%2F4%5D

Garth:

	1
log(2x−3 + 22x−3) = log(2x−1 −		)
	4

	2x−3 + 22x−3
log(		) = 0
	1   2x−1 −   4

2x−3 + 22x−3
	= 1
1   2x−1 −   4

2^x−3 + 2^2x−3 = 2^x−1 − 2⁻²

asdf: już jutro Ci napisze rozwiązanie, nie chce mi sie teraz liczyc.

Mila: cd mojego postu z 23:13 Mnożę obie strony równania przez 2³⇔ 2³*2^x−1−2=2^x+2^2x⇔ 2^x+2−2=2^x+2^2x 2^x+2^2x−4*2^x+2=0 [2^x+2=2^x*2²=4*2^x] 2^2x−3*2^x+2=0 2^x=t, t>0 t²−3t+2=0 Δ=1

	3+1		3−1
t=		=2 lub t=		=1
	2		2

2^x=2 lub 2^x=1 2^x=2¹ lub 2^x=2⁰ x=1 lub x=0 sprawdź z założeniami.