podzielnosc zadanie: dowiesc, ze liczba naturalna o sumie cyfr rownej 47 nie moze byc ani kwadratem, ani szescianem liczby calkowitej. nie jest kwadratem bo przy dzieleniu przez 3 daje reszte 2, nie jest szescianem bo przy dzieleniu przez 7 daje reszte 5 (bo szescian liczby calkowitej przy dzieleniu przez 7 daje tylko reszty 0, 1 albo 6) dobrze ?

Vax: Tak

zadanie: no wlasnie bo nie mamy podanej konkretnie liczby tylko sume jej cyfr ale czy to cos zmienia bo szescian liczby calkowitej (czyli konkretnej liczby) przy dzieleniu przez 7 daje tylko reszty 0, 1 albo 6 a nie ma tu mowy o sumie jej cyfr?

Mila: Uzasadnij dokładniej, przyda się innym . To ciekawy problem. Czy liczba naturalna sumie cyfr 48 może być kwadratem pewnej liczby naturalnej, a sześcianem.

zadanie: moze byc kwadratem bo przy dzieleniu przez 3 daje reszte 0 a szescianem tez moze byc bo przy dzieleniu przez 7 daje reszte 6 czy dobrze mysle?

Mila: No to sprawdź liczby: 888888 66666666

Vax: zadanie, musisz odróżniać implikację od równoważności. Z tego, że kwadrat liczby całkowitej przy dzieleniu przez 3 daje reszty 0,1, w żaden sposób nie wynika, że każda liczba która przy dzieleniu przez 3 daje reszty 0,1 jest kwadratem. Co do zadania o sumie cyfr 48, to nie może być ani sześcianem ani kwadratem, bo daje resztę 3 modulo 9.

ICSP: Mila coś mi się ta cecha podzielności przez 7 nie podoba Mamy podaną sumę cyfr liczby a nie liczbę.

zadanie: dziekuje

Mila: ICSP Poprawiam. Dziękuję. Wystarczy podzielność przez 9. Są dwa problemy. 1) Masz podaną sumę cyfr pewnej liczby naturalnej. Możemy zatem coś powiedzieć o podzielności liczby przez 3, 9 bo znamy te cechy podzielności oparte na sumie cyfr liczby. 2) Możliwe reszty z dzielenia kwadratu liczby całkowitej przez 3 to:0,1. Reszta 2 nie pojawi się. 47:3=15+r.2 stąd wniosek liczba o takiej sumie cyfr nie może być kwadratem liczby naturalnej. 3) Możliwe reszty z dzielenia sześcianu liczby całkowitej przez 9 to:0,1,8. Zatem inna reszta pozwala Ci dać odpowiedź nie. 47:9=5 r.2 48:9=5 r.3 stąd wniosek liczba o takiej sumie cyfr (47 albo 48) nie może być sześcianem liczby naturalnej. Reszta 0, 1, 8 nie daje żadnej pewności. Dlaczego liczba o sumie cyfr 48 nie może być kwadratem liczby naturalnej? Jeżeli podniesiesz liczbę podzielną przez 3 do kwadratu, to kwadrat tej liczby na pewno jest podzielny przez 9. n=12=4*3 n²=4²*3² zatem suma cyfr powinna być podzielna przez 9 . Znajdę podobne zadanie z próbnej matury , to napiszę.

zadanie: no tak a 48 nie jest podzielne przez 9

Mila: Potrzebnie napisałam to wszystko? Wyjaśniło coś? Jutro będzie cecha podzielności przez 7, dzisiaj już źle myślę.

max: http://pl.wikipedia.org/wiki/Cecha_podzielno%C5%9Bci

zadanie: czyli jak mamy sprawdzic czy liczba naturalna (badz suma jej cyfr) jest kwadratem badz szescianem liczby calkowitej to dzielimy ja przez 3 i jezeli reszty beda rozne od 0 i 1 to wtedy ta liczba nie jest kwadratem liczby calkowitej, a jezeli dzielimy ja przez 9 i reszty sa rozne od 0, 1 i 8 to wtedy liczba ta nie jest szescianem liczby calkowitej. a jak reszty wyjda odpowiednio 0 lub 1; 0 lub 1 lub 8 to nie oznacza to, ze liczba ta jest kwadratem badz szescianem liczby calkowitej tak?

Mila: Wiem, ale coś mi się pomyliło, może ICSP zrobi 2 przykłady, komuś się przydadzą.

zadanie: tak, dziekuje bardzo

Mila: Tak, resztę jutro, coś upał źle wpływa na myślenie. Przeczytaj dokładnie wcześniejsze komentarze. Może udowodnij, że : 1) Możliwe reszty z dzielenia kwadratu liczby całkowitej przez 3 to:0,1. 2)Możliwe reszty z dzielenia sześcianu liczby całkowitej przez 9 to:0,1,8. 3)Możliwe reszty z dzielenia sześcianu liczby całkowitej przez 7 to:0,1,6.

zadanie: 1) n∊C k∊{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7 , 8 , 9} (3n±k)²=9n²±6nk+k²=3(3n²±2nk)+k² 0²=0 1²=1 2²=4=1*3+1 3²=9=3*3+0 4²=16=3*5+1 5²=25=3*8+1 6²=36=3*12+0 7²=49=3*16+0 8²=64=3*21+1 9²=81=3*27+0 2) (9n±k)³=729n³±243n²k+27nk²±k³=9(81n³±27n²k+3nk²)±k³ 0³=0 1³=1 2³=8 3³=27=9*3+0 4³=64=9*7+1 5³=2125=9*13+8 6³=216=9*24+0 7³=343=9*38+1 8³=512=9*56+8 9³=729=9*81+0 3) podobnie jak w 2) ja zrobilem tak chyba, ze sa prostsze sposoby

Mila: 1) Wystarczy dla liczb postaci: 3k 3k+1 3k+2, k∊C Zastanów się dlaczego? (3k)²=9k²=3*(3k²) reszta 0 (3k+1)²=9k²+6k+1=3(3k²+2k)+1 reszta 1 (3k+2)²=9k²+12k+4=3*3k²+3*4k+3+1=3(3k²+4k+1)+1 reszta 1 albo dla liczb postaci: 3k 3k+1 3k−1 Rozwiąż (wykaż w tym przypadku) 2) Dla liczb postaci: 9k 9k+1 9k+2 itd k∊C Można krócej 9k 9k+1 9k−1 9k+2 9k−2 9k+3 9k−3 9k+4 9k−4 k∊C 3)dla liczb postaci: 7k 7k+1 7k+2 itd

zadanie: 1) nie moze byc juz np. 3k+3 bo 3(k+1) reszta 0 a 3k−1 to liczba ktora przy dzieleniu przez 3 daje reszte 2 w innej postaci to 3k+2 czy dobrze rozumiem?

Mila: Tak. 3k+3 to liczba podzielna przez 3, jest ujęta w przypadku 3k dla odpowiedniego k. Każda liczba całkowita jest postaci: 3k lub 3k+1 lub 3k−1 ( to są 3 kolejne liczby całkowite dla danego k∊C) np. k=1 2,3,4, II sposób 3k 3k+1 3k+2 k=1 3,4,5 k=2 6,7,8

Mila: Przeczytaj. http://matma.prv.pl/cechy.php

zadanie: ok dziekuje

Mila: Wieczorem będzie podzielność przez 7 i może kongruencje? Teraz znikam.

Mila: Nie udowodniłeś (2) i (3), czekam.

Mila: Zadanie z próbnej maturki. Liczby naturalne parzyste od 2 do 100 zapisujemy kolejno jedna za drugą tworząc liczbę naturalną a. Czy liczba a jest kwadratem pewnej liczby naturalnej?

zadanie: to zadanie z liczba a zrobilem w innym poscie

zadanie: a=246810121416....92949698100 suma jej cyfr to: (2+4+6+8)*10+5+10+15+20+25+30+35+40+45+1=426 426:3=142 r 0 (mimo, ze reszta wynosi 0 liczba a nie jest kwadratem liczby naturalnej bo suma jej cyfr jest podzielna przez 3 ale nie jest podzielna przez 9) dobrze?

Mila: Dobrze.

zadanie: 2) (9k)³=9*81k³+0 (9k±1)³=729k³±243k²+27k±1=9(81k³±27k²+3k)±1 (9k±2)³=729k³±486k²+108k±8=9(81k³±54k²+12k)±8 (9k±3)³=729k³±729k²+243k±27)=9(81k³±81k²+27k±3)±0 (9k±4)³=729k³±972k²+432k±64)=9(81k³±108k²+48k±7)±1 3) podobnie

Mila: Kongruencje. Opierając się na własnościach kongruencji uzasadnij ,że liczba 2²⁵⁶−1 przy podzieleniu przez 7 daje resztę 1. zaczynam 2³( czyli 8)=1 (mod7)

zadanie: a tak w ogole co to sa kongruencje?

ICSP: Mila chyba miałaś na myśli daje resztę 0 a nie 1 ?

Mila: Właśnie Vax tłumaczył Ci za pomocą kongruencji. Mówimy, że liczby całkowite przystają do siebie według modułu, jeżeli po podzieleniu przez ten sam dzielnik (zwany modułem ) otrzymamy taka samą resztę. Przykłady 9=2(mod 7) (9:7=1+r.2) 16=2(mod7) (16:7=2+r.2) stąd 9=16(mod7) Takie przystawanie liczb nazywamy kongruencją. Kongruencje rozpatrujemy między liczbami całkowitymi, a za moduły obieramy tylko liczby naturalne. 1) kongruencje o tym samym module możemy dodawać stronami np. 9=2 (mod 7) 16=2 (mod7) 25=4 (mod7) 2)obie strony kongruencji możemy pomnożyć przez tę samą liczbę 9=2 (mod7) /*3 27=6 (mod7) (spr. 27:7=3+r.6) 2) obie strony kongruencji możemy potęgować 9=2 (mod7) /² 81=4 (mod7) (sprawdź!)

Mila: ICSP, wychodzi reszta 1. Licz jeszcze raz, ja też policzę. Chcę, aby samodzielnie nasz podopieczny spróbował więc nie pisz rozwiązania.

ICSP: 2²⁵⁶ − 1 ≡ 0 mod 7

ICSP: I następne zadanie z kongurencji : Obliczyć resztę z dzielenia przez 12 liczby : 1! + 2! + ... + 100!

Vax: ICSP nie do końca, Mila ma racje

Mila: 2³=1 (mod7) 256:3=85+r.1 85*3=255 (2³)⁸⁵=1⁸⁵ (mod7)⇔ 2²⁵⁵=1(mod7) /*2 2*2²⁵⁵=2(mod7) ⇔ 2²⁵⁶=2 (mod7) /−1 2²⁵⁶−1=1 (mod7)

zadanie: dlaczego akurat 2³ a nie np. 2⁴? skad sie bierze 256:3?

ICSP: zamiast 2³ ja napisałem 2⁴ Przepraszam

ICSP: Vax a czy kongurencje można jakoś upraszczać Tzn czy kongurencje a≡ b mod c można sprowadzić do postaci d ≡e mod f gdzie f < c To by było bardzo wygodne

Mila: Jesli weźmiesz 2⁴ to będzie tak: 2⁴=16=2(mod7) 2⁴=2(mod7) /⁶⁴ (2⁴){64}=2⁶⁴(mod7) i masz problem, bo 2⁶⁴ nie obliczysz, a 1⁸⁵=1 dzielę 256 przez 3 bo chcę otrzymać wyrażenie (2³)ⁿ=2²⁵⁶ albo bliskie 2²⁵⁶.

Vax: Tak, mając a=b mod c, gdzie c = p₁^a1*p₂^a₂*...*p_k^a_k, możemy to równoważnie zapisać w postaci: {a = b (mod p₁^a₁) {a = b (mod p₂^a₂) ... {a = b (mod p_k^a_k) Przykładowo mając do pokazania 10⁷² = 1 (mod 117) możemy to równoważnie zapisać jako: {10⁷² = 1 (mod 9) {10⁷² = 1 (mod 13) 1 kongruencja jest oczywista (10 = 1 (mod 9)) A w drugiej zauważamy, że 10³ = −1 (mod 13)/¹² ⇒ 10⁷² = 1 (mod 13) cnd

zadanie: dziekuje

ICSP: ja również dziękuje

Mila: Zadanie zostało zadanie z 21:30, bardzo ładne.

zadanie: probowalem obliczyc ile wynosi ta liczba: 1! + 2! + ... + 100! (jezeli tak mozna zrobic) a₁=1!=1; a_n=100!; n=100

	100!
S100=		*100=50*100!
	2

zadanie: a=b (mod n) wydaje mi sie, ze jezeli liczby a, b sa naturalne i a>b (odnosze sie do zapisu powyzej) to reszta z dzielenia a przez n jest rowna b i reszta z dzielenia b przez n jest jest rowna b. wtedy analogicznie byloby: jezeli liczby a, b sa naturalne i a<b (odnosze sie do zapisu powyzej) to reszta z dzielenia a przez n jest rowna a i reszta z dzielenia b przez n jest rowna a. bo jezeli a i b jest ujemne lub jedna z liczb a i b jest ujemna to wtedy to nie zachodzi czy dobrze rozumiem?

ICSP: −1 ≡ 2 mod 3 bo 3 | −1 − 2 lub przykład z dwoma liczbami ujemnymi : −2 ≡ −5 mod 3 bo 3 | −2 + 5

zadanie: a dobrze jest to co napisalem?

zadanie: ?

Mila: 12:03 źle a₁=1 a₂=1*2=2 a₃=1*2*3=6 a₄=1*2*(3*4)=24 to już jest podzielne przez 12 a₅=1*2*(3*4)*5 4!=5!(mod12) reszta z dzielenia przez 12 jest równa 0 itd Teraz rozwiąż .

zadanie: ale co rozwiazac? bo pytanie bylo o reszte z dzielenia tej liczby przez 12 a reszta jest 0

zadanie: a to co napisalem w 12:24 jest dobrze?

zadanie: ?

Mila: Dlaczego po podzieleniu tej sumy z 21:30 reszta wynosi zero? Wyjaśnij. Ostatnie pytanie było do tego co Vax napisał? Np. 17=9 (mod 4) i to nie pasuje do tego co napisałeś 12:24

zadanie: reszta jest 0 bo dalej w kazdym nastepnym wyrazie jest ona podzielna przez 12 tak mi sie wydaje chyba, ze zle mysle? czyli to z 12:24 jest zle

Mila: Masz wyznaczyć resztę po podzieleniu całej sumy, opuściłeś kilka składników. Przeczytaj co napisałam 16:14

zadanie: wydaje mi sie, ze reszta bedzie 9 bo 1+2+6=9

Mila: a₁=1=1 (mod12) a₂=1*2=2 (mod12) a₃=1*2*3=6 (mod12) a₄=1*2*(3*4)=24=0 (mod12) to już jest podzielne przez 12 a₅=1*2*(3*4)*5=0 (mod12) 4!=5!(mod12)=...=100!(mod 12) =0(mod12) reszta z dzielenia przez 12 jest równa 0 S=1! + 2! + 3!+4!+ ... + 100! Suma reszt=a₁+a₂+a₃+0=1+3+6=9 R=9 Albo tak:

	4!		100!
S=a1+a2+a3+12*(		+.....+		) i wyjaśnić dlaczego suma w nawiasie jest liczbą
	12		12

naturalną.

zadanie: suma w nawiasie jest liczbą naturalną bo kazdy ze skladnikow w nawiasie jest podzielny przez 12

Mila: