Vax: No to rozwiązanie, z przyzwyczajenia będę pisał p,q, na początku sprawdzamy, że p=q nie działa,
załóżmy, że p≠q:
p
3−q
5 = (p+q)
2, patrząc na to mod q mamy p
3 = p
2 mod q ⇔ p
2(p−1) = 0 mod q skąd q | p−1,
patrząc na to mod p dostajemy −q
5 = q
2 mod p ⇔ q
2(q
3+1) = 0 mod p, skąd p | q
3+1 =
(q+1)(q
2−q+1), jeżeli p | q+1, to skoro q | p−1 mamy kolejno q ≤ p−1 ≤ q, więc q=p−1 co jak
łatwo sprawdzić nie działa. Skąd p | q
2+q+1, mamy więc:
{q | p−1
{p | q
2+q+1
Z 1 podzielności mamy p = kq+1, czyli kq+1 | q
2+q+1, skąd w szczególności kq+1 ≤ q
2+q+1 ⇔ k ≤
q+1 (*)
| | p−1 | | p2−2p+1 | | p−1 | | p2−2p+1+pk−k+k2 | |
Ale q = |
| , więc p | q2+q+1 = |
| + |
| +1 = |
| |
| | k | | k2 | | k | | k2 | |
Skąd p | p
2−2p+1+pk−k+k
2 ⇔ p | k
2−k+1, czyli kq+1 | k
2−k+1 ⇒ kq+1 ≤ k
2−k+1 ⇔ q ≤ k−1, ale
z (*) mamy k−1 ≤ q, więc k = q+1, więc p = q
2+q+1, wstawiając do wyjściowego równania łatwo
dostajemy, że jedynym rozwiązaniem jest (p,q) = (7,3).