pytanie
ICSP: Mam pewien mały problem :
Mamy założenia :
1
o −1 ≤ a ≤ 1
2
o −1 ≤ b ≤ 1
3
o a
2 + b
2 = 1
Można pokazać że
a
2n + b
2n ≤ 1 , n ∊ N
+ ?
Oraz że a
2n + b
2n = 1 gdy a = ± 1 , b = 0 albo a = 0 , b = ± 1
Vax: Można, pierwsze dwa warunki są niepotrzebne bo wynikają z 3
Zauważ, że:
a
2n+b
2n = (a
2)
n + (1−a
2)
n
Podstawmy sobie dla ułatwienia a
2 = x ∊ [0;1]
Mamy więc pokazać, że x
n + (1−x)
n ≤ 1, dla n ∊ Z
+, a to można elementarnie np indukcją, dla
n=1 to jest naturalnie prawdą, no to:
x
n+1+(1−x)
n+1 = (x + (1−x))(x
n+(1−x)
n) − x(1−x)
n−x
n(1−x) ≤ 1 −
x(1−x)(x
n−1+(1−x)
n−1)
Czyli wystarczy pokazać x(1−x)(x
n−1+(1−x)
n−1) ≥ 0, co jest naturalnie prawdą jako iloczyn
3 nieujemnych składników, od razu widzimy też kiedy zachodzi równość.
