granica ciągu obi2exe: Witam wszystkich, mam do rozwiązania dwa przykłady z wyznaczania granicy ciągu: a)

	3		10
un =		−
	n		√n

b)

	(−1)n
un =
	2n−1

Dodam tylko, że rozwiązania w obu przypadkach to 0, a n oczywiście zmierza do ∞. Chciałby, żeby to ktoś ogarnięty w przystępny sposób wytłumaczył i zapisał własności granicy w przypadkach gdzie pojawiają się pierwiastki. Z góry THX.

Basia: ad.a nie bardzo rozumiem o co Ci chodzi lim_n→+∞pk{n} = +∞ dla dowolnego stałego k (pierwiastek k−tego stopnia z n; edytor nie umie tego obsłużyć) np. √n; ⁵√n; ⁹√n ( i tak dalej) → +∞ natomiast lim_n→+∞ ⁿ√n = 1 (stopień pierwiastka zmienny ad.b u_n możesz rozbić na dwa podciągi

	1
u2k =		→ 0
	4k−1

	−1
u2k−1 =		→0
	4k−3

przy k→+∞

ICSP: albo przykład b z ograniczenia −1 ≤ (−1)ⁿ ≤ 1 Podzielić to przez 2n+1 i z twierdzenia o trzech ciagach dostajemy co chcemy

obi2exe: Basia W podpunkcie a) też chcę wyznaczyć granicę ciągu. Sposobem, którym liczę mam coś takiego ∞ − ∞. Ten umowny zapis chyba też prowadzi do zera. W punkcie b) nie spotkałem się z takim zapisem w jaki mi to rozpisujesz. Jednak na logikę licznik zmierza do niczego, a mianownik do nieskończoności. Więc będziemy otrzymywać ciągu dążący do 0. Można tak to ująć?

ICSP: ja tu nie widzę symbolu nieoznaczonego 0 − 0 = 0 i to jest właśnie granica.

obi2exe: ICSP Licznik obliczyłem z czegoś takiego: jeżeli a ∊ <−1,1> to lim (a)ⁿ=1 Mianownik to prosty ciąg, który zmierza do nieskończoności.

	1
Więc logicznie dostanę coś takiego:		= zmierza do 0.
	∞

Można tak to zrobić?

obi2exe: ICSP, faktycznie masz rację przeoczyłem. Dopiero zaczynam sorry

5-latek:

	A
Np do przykladu a) Wiesz ze limn→∞		=0 gdzie A to stala.
	+/−∞

takze powinienes/as wiedziec ze jesli lim_n→∞a_n=a i lim_n→∞b_n=b to lim_n→∞(a_n−b_n)=a−b Co do przykladu b to jeszcze jak sie uczylem to moj nauczyciel mowil nam ze lim_n→∞(−1)ⁿ ze taka granica nie istnieje

obi2exe: 5−latek: Wczoraj zacząłem się tym bawić i to tylko przez godzinę. Więc jeszcze nie świecę z tego. Te przykłady sam rozwiązałem, ale chciałem zobaczyć jak inni je rozumieją i rozwiązują. Faktycznie taki ciąg nie zmierz do żadnej granicy lim n→∞(−1)ⁿ .

Basia: granica (−1)ⁿ oczywiście nie istnieje bo masz tu dwa podciągi: a_2n = 1 i a_2n−1 = −1 każdy zbieżny do innej liczby

	(−1)n
natomiast granica		jak najbardziej istnieje i jest równa 0
	n

ponieważ jak już pisał ICSP −1 ≤ (−1)ⁿ ≤ 1 /:n

−1		(−1)n		1
	≤		≤
n		n		n

	−1		(−1)n		1
limn→+∞		≤ limn→+∞		≤ limn→+∞
	n		n		n

	(−1)n
0 ≤ limn→+∞		≤ 0
	n

stąd:

	(−1)n
limn→+∞		= 0
	n

ICSP: oczywiscie granica : lim (−1)ⁿ n−>∞

	(−1)n
nie istenieje, ale wcale nie wyklucza to istnienia granicy
	2n−1

Basia: @obi2exe skoro dopiero zaczynasz postaraj się "poczuć" istotę pojęcia granicy wypisz sobie kilkanaście wyrazów ciągu i naszkicuj wykres

	(−1)n
dla ciągu an =		masz kolejno:
	2n+1

	1		1		1		1		1
−		;		; −		;		; −		; .........................
	3		5		7		9		11

zaznacz teraz te wyrazy w układzie współrzędnych i zobacz jak to się zachowuje potem spróbuj udowodnić zbieżność tego ciągu do 0 wprost z definicji Cauchy'ego bo to co wyżej to oczywiście tylko intuicja, nie dowód

obi2exe: Dziękuję wszystkim, temat wyczerpany.