Udowodnij nierówność Piotr: Udowodnij nierówność: (a−b)/a < ln(a/b) < (a−b)/b gdy 0<b<a Proszę pilnie o pomoc, nie mam pojęcia jak się nawet za ten przykład zabrać

Saizou : podpowiedź

	a		a
zauważ że ln(		)>0 , bo		>1 i lnx to funkcja rosnąca
	b		b

ZKS: Zobacz tutaj powinno Ci się przydać. http://people.sju.edu/~pklingsb/ftc.pdf

Godzio: Skorzystamy z twierdzenia Lagrange'a na odcinku [a,b]. Wiemy, że istnieje c ∊ (a,b), że

ln(a) − ln(b)		1
	= f'(c) =		,
a − b		c

	1		1		1
Ponieważ 0 < b < c < a, to 0 <		<		<
	a		c		b

Wstawiając poprzednią równość mamy:

1		ln(a) − ln(b)		1
	<		<
a		a − b		b

Korzystając ze wzoru na różnicę logarytmu i z faktu, że a − b > 0 mamy:

a − b		a		a − b
	< ln(		) <
a		b		b

Czyli to co chcieliśmy