Indukcja Garth: Wykaz, ze dla kazdej liczby naturalnej dodatniej n 133 | 11ⁿ⁺¹ + 12²ⁿ⁻¹ 1. Dla n = 1 11ⁿ⁺¹ + 12²ⁿ⁻¹ = 133 133 | 133 L = P 2. ∧ [∨ 11^k+1 + 12^2k−1 = 3p] ⇒ [ ∨ 11^k+2 + 12^2k+1 = 3s] ^{k∊N p∊C s∊C} 11^k+2 + 12^2k+1 = 11 * 11^k+1 + 12² * 12^2k−1 = 11*11^k+1 + 144 * 12^2k−1 = = 11 * 11^k+1 + 12^2k−1 + 143 * 12^2k−1 = 11 * 3p + 143 * 12^2k−1 = 33p + 143 * 12^2k−1 Niestety brakuje mi pomyslu, co dalej by mozna z tym zrobic, jakies rady? Serdecznie dziekuje.

Garth: Dla pierwszego warunku L = P napisalem chyba troche z rozpedu.

Basia: Z: 11^k+1+12^2k−1 = 133*x x∊C ⇔ 11^k+1 = 133x − 12^2k−1 x∊C T: jak napisałeś 11^k+2 + 12^2k+1 = 11*11^k+1 + 12^2k+1 = 11*(133x − 12^2k−1) + 12^2k+1 = 11*133x − 11*12^2k−1 + 12^2k+1 = 11*133x + 12^2k−1(12² − 11) = 11*133x + 12^2k−1*133 = 133*(11x + 12^2k−1) 11x + 12^2k−1 ∊ C czyli koniec dowodu −−−−−−−−−−−−−−−−−− w zadaniach z potęgami prawie zawsze trzeba sobie przekształcić Założenie indukcyjne do innej (oczywiście równoważnej) postaci

ciuchcia: Z : 11^{k + 1} + 12^{2k − 1} = 133m, m ∊ ℤ T : 11^{k + 2} + 12^{2k + 1} = 11 * 11^{k + 1} + 144 * 12^{2k − 1} = 11 * 11^{k + 1} + (133 + 11) * 12^{2k − 1} = 11 * 11^{k + 1} + 133 * 12^{2k − 1} + 11 * 12^{2k − 1} = 11(11^{k + 1} + 12^{k − 1}) + 133 * 12^{2k − 1} = 11 * 133m + 12^{k − 1} * 133 = 133 ( 11m + 12^{k − 1} )

Garth: Dziekuje, mialo tez byc to, a nie to co napisalem w pierwszym poscie. Mialo tez byc: ∧ [∨ 11^k+1 + 12^2k−1 = 133p] ⇒ [ ∨ 11^k+2 + 12^2k+1 = 133s] ^{k∊N p∊C s∊C}

Mila: 2⁰ Z faktu, że tw. zachodzi dla n=k wynika, że zachodzi dla n=k+1 11^k+1+12^2k−1=133s, s∊C⇒ 11^k+1+1+12^2(k+1)−1=133m, m∊C D: 11^k+1+12^2k−1=133s, s∊C⇔ 11^k+1=133s−12^2k−1, s∊C Czy 11^k+1+1+12^2(k+1)−1=133m, m∊C ? 11^k+1*11+12^2k+1=11*(133s−12^2k−1)+12^2k+1= =11*133s−11*12^2k−1+12^2k+1= =11*133s−12^2k−1*(11−12²)=11*133−12^2k−1(11−144)= =11*133*s+133*12^2k−1=133*(11s+12^2k−1)=133*m, m=11s+12^2k−1 i m∊N

Vax: Jakby kogoś interesowało, można również dość szybko wykazać to stosując kongruencje: 12(11ⁿ⁺¹+12²ⁿ⁻¹) == 12*11ⁿ⁺¹ + 12²ⁿ == 12*11ⁿ⁺¹+144ⁿ == 12*11ⁿ⁺¹+11ⁿ == 11ⁿ(132+1) == 0 (mod 133) Ale nwd(12,133)=1 więc jest to równoważne 11ⁿ⁺¹+12²ⁿ⁻¹ == 0 (mod 133) cnd.

Garth: Rowniez dziekuje, ale to jednak jeszcze (oby tylko jeszcze) nie moj poziom.

Garth: Kolejny przyklad, to samo polecenie, prosilbym o sprawdzenie, czy jest poprawnie. 11 | 2⁶ⁿ⁺¹ + 9ⁿ⁺¹, n∊N 1. n = 1 ⇒ 2⁶ⁿ⁺¹ + 9ⁿ⁺¹ = 209 11 | 209 2. ∧ [∨ 2^6k+1 + 9^k+1 = 11p] ⇒ [∨ 2^6k+7 + 9^k+2 = 11s] ^{k∊N p∊C s∊C} 2^6k+1 + 9^k+1 = 11p ⇒ 2^6k+1 = 11p − 9^k+1 2^6k+7 + 9^k+2 = 2⁶ * 2^6k+1 + 9^k+2 = 2⁶ * 11p − 2⁶ * 9^k+1 + 9 * 9^k+1 = = 2⁶ * 11p + 9^k+1(9 − 2⁶) = 2⁶ * 11p + 9^k+1(−55) = = 11(64p −5 * 9^k+1) 64p ⋀ 9^k+1 to z zalozenia liczby calkowite.

Garth: I kolejne, tym razem z nierownoscia. Wykaz, ze dla dowolnej liczby naturalnej n ≥ 4 zachodzi nierownosc: 2ⁿ > 3n 1. n = 4 ⇒ 2ⁿ = 16 ⋀ 3n = 12 16 > 12 2. ∧ [ 2^k > 3k ⇒ 2^k+1 > 3k + 3] ^{k∊N k≥4} 2^k+1 = 2 * 2^k 2^k > 3k ⇒ 2 * 2^k > 6k 6k > 3k + 3 ⇔ 3k > 3 ⇔ k > 1 Czy dobrze/wystarczajaco?

Garth: Nikt?

Mila: 10:49 dobrze. cnw

Mila: 13:59 2^k+1=2*2^k=2^k+2^k>3k+3k=3(k+1) i k≥4 cnw