xxxx use: witam , jak wyznaczyc funkcje odwrotną ? f(x;y)=(x+y;2x−y) jak sie wyznacza funkcje odwrotna w takiej funkcji ? funkcja jest odwzorowaniem R²→R²

xxx: f⁻¹(x,y) = (x/3 + y/3; 2x/3 − y/3)

use: no dobra tyle to ja wiem z odpowiedzi do zadania ale jak to sie oblicza ?

Basia: x₁ = x+y y₁ = 2x−y y = x₁−x y = 2x − y₁ −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− x₁−x = 2x−y₁ x₁ + y₁ = 3x

	x1		y1
x =		+
	3		3

	x1		y1
x1 =		+		+ y
	3		3

	2x1		y1
y =		−
	3		3

opuszczamy niepotrzebne już wskaźniki i mamy:

	x		y		2x		y
f−1(x,y) = (		+		;		−
	3		3		3		3

use: dzieki wielkie

use: szkoda ze jeszcze internet nie ma funkcji przesylania wódki bo za te wszystkie wasze pomoce to nie jedna setka sie juz nalezy ^^

Janek191: u = x + y / *( −2) v = 2 x − y −−−− − 2 u = − 2 x − 2 y v = 2 x − y −−−− dodajemy stronami v − 2 u = − 3 y / : ( −3)

	2		v
y =		u −
	3		3

−−−−−−−−−−−−

	2		v		u		v
x = u − y = u − (		u −		) =		+
	3		3		3		3

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

	u		v		2		v
f−1 ( u; v) = (		+		;		u −		)
	3		3		3		3

lub po zmianie oznaczeń

	x		y		2		y
f−1(x; y) = (		+		;		x −		)
	3		3		3		3

=============================

Janek191: u = x + y / *( −2) v = 2 x − y −−−− − 2 u = − 2 x − 2 y v = 2 x − y −−−− dodajemy stronami v − 2 u = − 3 y / : ( −3)

	2		v
y =		u −
	3		3

−−−−−−−−−−−−

	2		v		u		v
x = u − y = u − (		u −		) =		+
	3		3		3		3

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

	u		v		2		v
f−1 ( u; v) = (		+		;		u −		)
	3		3		3		3

lub po zmianie oznaczeń

	x		y		2		y
f−1(x; y) = (		+		;		x −		)
	3		3		3		3

=============================

Basia: @Janek191 czy możesz mi zdradzić dlaczego z uporem godnym lepszej sprawy zawsze wrzucasz dwa razy to samo rozwiązania ?

use: do tego zadania jest jeszcze cos takiego : Wyznaczyc zbiory f⁻¹(D) gdzie D− prpsta o rownaniu y=x+1 przypomne ze f(x;y)=(x+y;2x−y) tego troche nie czaje bo niby mam wyznaczoną funkcje odwrotną ale podstawiając do niej za y=x+1 wychodzi zupelnie inny wynik niz jest w odpowiedziach wiec jak to zrobic prosze o odpowiedz ^^

use: up

Basia: f⁻¹(x,y) = (^x₃+^y₃; ^2x₃−^y₃) y = x+1 f⁻¹(x,x+1) = ^x₃+^x+1₃; ^2x₃−^x+1₃) = (^2x+1₃; ^x−1₃)

	2x+1
x1 =
	3

	x−1		1		2x−2		1		2x+1−3
y1 =		=		*		=		*		=
	3		2		3		2		3

1		2x+1		1
	*[		−1 ] =		*(x1−1)
2		3		2

f⁻¹(D): prosta y = ¹₂x − ¹₂

Basia: można też tak (chyba prościej)

	2x+1
x1 =
	3

3x₁ = 2x+1 2x = 3x₁−1

	x−1
y1 =
	3

3y₁ = x−1 x = 3y₁+1 2(3y₁+1) = 3x₁−1 6y₁ + 2 = 3x₁−1 6y₁ = 3x₁ −3

	1
y1 =		x1 − U{1}[2}
	2

	1
y =		x − U{1}[2}
	2

use: dzieki wielkie ^^

Trivial: Można też zauważyć, że funkcja f(x,y) jest odwzorowaniem liniowym, a zatem zachowuje się jak mnożenie przez macierz.

	x+y 2x−y		1 1 2 −1	x y
f(x,y) =		=

	1 1 2 −1
Teraz trzeba wyznaczyć macierz odwrotną do		.

	1	−1 −1 −2 1	x y		13x + 13y 23x − 13y
f−1(x,y) = −				=
	3

use: jak lizne macierze to tu zajrze póki co nie umiem macierzy ^^ ogolnie wszystko niby fajnie bo nawet logicznie to wygląda ( to co przy x i y napisales w macierzy pozniej odwrotna macierz to zmiana znaków , jedyne pytanie jest takie skąd ta 1/3 jedna trzecia ?

Trivial: Ogólny wzór jest taki:

	1
A−1 =		(AD)T
	detA

Gdzie A^D − macierz dopełnień algebraicznych A. Dla przypadku dwuwymiarowego warto znać gotowy wzór na A⁻¹

	a b c d		1	d −b −c a
A =		→ A−1 =
			detA

use: a to detA co oznacza

Trivial: wyznacznik macierzy A.

Trivial: dla dwuwymiarowego przypadku detA = ad − bc.

Trivial: Ten wzór jest praktyczny tylko dla macierzy małych rozmiarów (2x2, 3x3). Bezpośrednie obliczenie A^D w ogólnym przypadku jest skomplikowane (łatwiej wyznaczyć A⁻¹ np. eliminacją Gaussa).

Trivial: Co do zadania f⁻¹(D) gdzie D = { (x,y) | y = x + 1 } to:

	1	x + y 2x − y		1	2x + 1 x − 1
f−1(x,y) =			f−1(D) =			, x ∊ R.
	3			3

To jest postać parametryczna f⁻¹(D). Żeby wyznaczyć rozwiązanie w postaci y = ax+b należy y uzależnić od x. Najpierw dokonajmy zamiany oznaczeń, żeby nie myliły się litery:

	1	2u + 1 u − 1
f−1(D) =			, u ∊ R.
	3

	2u+1		3x−1
x =		→ u =
	3		2

	u−1		3x−1   −1 2		3x−1−2		1		1
y =		=		=		=		x −
	3		3		6		2		2

use: teraz mam problem z takim zadaniem ; f(x;y)=(x+2y;x−y) policzylem odwrotną to;

	x+2y		x−y
f−1(x;y)=(		;		)
	3		3

mam wyznaczyc teraz f⁻¹(D) gdzie D−hiperbola y=x²+1 dochodze do takie ukladu rownan ; 3y=v−v²−1 3x=v+2v²+2 i teraz musze wyznaczyc v zeby podstawuc do rownania z iksem ale jak to zrobic ? moze to jakos inaczej trzeba ?

Trivial:

	1 2 1 −1	x y
f(x,y) =

	1	−1 −2 −1 1	x y		1	x+2y x−y
f−1(x,y) = −				=
	3				3

	1	2x2+x+2 −x2+x−1
f({ (x,y) | y = x2+1}) =			, x∊R.
	3

http://www.wolframalpha.com/input/?i=parametric+plot+x+%3D+%282t^2+%2B+t+%2B+2%29%2F3%2C+y+%3D+%28-t^2%2Bt-1%29%2F3 Z rysunku widać, że nie da się tego przedstawić jako funkcję y(x) (ani x(y))

Trivial: Zapomniałem dać ⁻¹ przy f.

use: w odpowiedziach do tego zadania jest cos takiego ; f⁻¹(D) − krzywa o równaniu x²+4y²+4xy−x+y+1=0 (zależnosc dostaniemy z równania f⁻¹(x;y)=(t²+1;t) nie czaje tego jak oni doszli do tego wyniku

use: da sie to jakos wyliczyc bez uzycia macierzy masakra jakas jak dla mnie

Trivial: U mnie nie ma macierzy poza obliczeniem funkcji odwrotnej. Potem są już tylko zwykłe wektory (zapisane kolumnowo). Zamieniając oznaczenie mamy:

	1	2u2+u+2 −u2+u−1
f−1(D) =			, u∊R.
	3

Teraz zauważamy, że: x + 2y = u x − y = u²+1 Podstawiając mamy x−y = (x+2y)² + 1 Wymnażamy: x² + 4y² + 4xy − x + y + 1 = 0.

niemiła: 2x+2 * 2x−4=2y * y−1