geometria analityczna Mike: zadanie 1 − dwa boki równoległoboku są zawarte w prostych y=3x+4 oraz x+2y−1=0. Punkt (2,3) jest punktem przecięcia się przekątnych równoległoboku. Wyznacz współrzędne wierzchołków równoległoboku zadanie 2 − Proste o równaniach y=2x+3 i x+y−12=0 zawierają dwa boki trójkąta prostokątnego. Wyznacz wierzchołki tego trójkąta, wiedząc że do prostej zawierającej trzeci bok należy punkt P=(2,1) czy mógłby ktoś mi to dokładnie rozpisać jak rozwiązać ? byłbym wdzięczny

Eta: Pomagam

Eta: rozwiązując układ równań prostych; y = 3x +4 i x +2y −1 =0 otrzymasz: A( −1, 1) punkt P( 2,3) jest środkiem odcinka AC więc C( x_C, y_C) to: x_C= 2x_P− x_A i y_C = 2y_P −y_A podstawiając odowiednie współrzędne otrzymasz: x_C= 5 i y_C= 5 to C(5,5) Wyznaczamy równanie prostej DC II do pr.AB i zawierającej punkt C zatem: pr. DC: y − y_C = a( x −x_C) gdzie a = 3 , bo to wsółczynnik kierunkowy prostej AB: y = 3x +4 zatem: po podstawieniu danych otrzymasz: pr.DC: y= 3x −10 rozwiązując układ równań prostej DC i prostej AD czyli: y= 3x −10 i x +2y −1=0 otrzymasz współrzędne punktu D( 3,−1) więc współrzedne punktu B wyznaczyysz: x_B = 2x_P − x_D i y_B= 2y_P − y_D otrzymasz: B( 1, 7) zaznacz teraz te punkty w układzie współrzędnych, przekonasz się ,że czworokąt ABCD jest własnie tym równoległobokiem. Drugie zad. może rozwiąże ktoś inny ( bo już nie mam siły) Idę na herbatkę

AROB: Pomogę, niech Eta spokojnie wypije herbatkę.

Eta: Superrrrr , dzięki AROB właśnie piję herbatkę i pojadam chałwę

AROB: Zad. 2. Należy najpierw sprawdzić,które boki trójkąta prostokątnego zawierają się w danych prostych. I prosta: y = 2x + 3, II prosta: x + y − 12 = 0 ⇒ y = −x + 12 Nie są to proste prostopadłe, więc jedna prosta zawiera jedną z przyprostokątnych, a druga przeciwprostokątną. ( patrz rysunek). − Wyznaczamy współrzędne punktu C, jako punktu przecięcia prostych a i b, czyli rozwiązujemy układ równań: y = 2x + 3 y = −x + 12 ⇒ 2x − 3 = −x + 12 ⇒ x = 5 Wtedy y = −5 + 12 = 7, Zatem punkt mamy: C(5,7) −Wyznaczamy równanie prostej AB prostopadłej do prostej a i przechodzącej przez punkt P(2,1). Wykorzystujemy warunek prostopadłości prostych.

	1		1
ma = 2, mAB = −		= −
	ma		2

Równanie prostej ma wzór: y − y_P = m_AB(x − x_P)

	1		1
y − 1 = −		(x−2) ⇒ y=−		x+2 −−−−−− prosta AB
	2		2

−Wyznaczamy współrzędne punktu A z przecięcia prostych AB i a ( znów układ równań):

	1
y = −		x + 2
	2

	1		5		2
y = 2x + 3 ⇒ 2x + 3 = −		x + 2 ⇒		x = −1 ⇒ x = −		.
	2		2		5

	2		1		2		1
Wtedy y = 2*(−		) + 3 = 2		. Zatem mamy punkt A(−		, 2		)
	5		5		5		5

− Analogicznie wyznaczamy punkt B z przecięcia prostych AB i b z układu: y = −x + 12

	1		1
y = −		x + 2 ⇒ −x + 12 = −		x + 2 ⇒ x = 20
	2		2

y = −20 + 12 = −8 Zatem mamy punkt B(20, −8).

	2		1
Odp. A(−		, 2		), B(20, −8), C(5,7)
	5		5

AROB: Eta, o tej porze chałwę?!

Eta: To dla mnie normalka .... ( 48kg "żywej wagi"

Bogdan: Eta to łasuch na chałwę

AROB: Chyba, że tak! Zazdroszczę Ci zatem Eto, tak komfortowej sytuacji.

Eta:

evciq: ooo fajnie, że takie zadanko rozwiązaliście przydało mi się