algebra maniek: Zdiagnoalizować macierze [ w postaci PDP⁻¹, D − jest diagonalna ] oraz obliczyć ich 2013 potęgi.

	3 1 1 2
a)

b) | 3 −1 −2 | | 2 0 −2 | | 2 −1 −1 |

TOmek: robie b)

TOmek: 3−x −1 −2 2 0−x −2 2 −1 −1−x −x(3−x)(−1−x)+4+4−(4x+2(3−x)+2(1+x)=0 x=0 x=1 (podówjne) teraz przestrzenie własne: dla x=0 bierzesz początkowa macierz odejumesz po przekątnej wartosc własną w tym wypadku "0" nakładasz na te macierz wektor (x,y,z)=(0,0,0) rozwiazujesz i masz prosta która generuje ta wartosc własna dla x=1 prestrzenia będzie płaszczyzna macierz diagonalna : 0 0 0 0 1 0 0 0 1 macierz przejsca( tworzysz z wektorów własnych). Ogólnie miałem ochotę zrobic to ale jak sobie przypomniałem ile tu jest roboty. Polecam Ci wpisać w google będziesz miał schematy robienia tego. na końcu tylko podnosisz macierz diagonalną do 2013 i zostawiasz w formie PDP⁽⁻¹⁾

maniek: b) | 3 −1 −2 | | λ 0 0 | | 3 − λ −1 −2 | | 2 0 −2 | − | 0 λ 0 | = | 2 −λ −2 | | 2 −1 −1 | | 0 0 λ | | 2 −1 −1 − λ | −λ³ + 2λ² − λ = −λ(λ² − 2λ + 1) = −λ(λ − 1)² dla λ = 0 [ 3 −1 −2 ] [ x ] [ 0 ] [ 2 0 −2 ] [ y ] = [ 0 ] [ 2 −1 −1 ] [ z ] [ 0 ]

⎧	3x − y −2z = 0
⎨	2x − 2z = 0
⎩	2x − y − z = 0

tak ?

maniek:

⎧	3x − y − 2z = 0
⎨	x = z
⎩	2x − y − z = 0

⎧	3x − y − 2z = 0
⎨	x = z
⎩	x = y

⎧	3x − x − 2x = 0
⎨	x = z
⎩	x = y

⎧	0 = 0
⎨	x = z
⎩	x = y

co dalej ?

maniek: mógłby ktoś dać jakąś wskazówkę ?

TOmek: zatem wartość własna "0" jest prostą generowaną przez wektor (x,x,x) zatem np wartośc własna to (1,1,1)

maniek: nie rozumiem za bardzo mógłbyś wytłumaczyć ?

maniek: mógłby ktoś wytłumaczyć dlaczego akurat (1, 1, 1) ?

TOmek: bierzesz obojetnie jakie x∊R mozesz wziąc wektor (2,2,2) to obojętne ,przeciez 2*(1,1,1) czyli po prostu jest dwukrotnie wydłużony. E₀ − przestrzen własna dla wartosci własnej 0 generowana jest przez wektor (k,k,k) gdzie, k∊R −−−−−−−−−−−− 0 = 0 ⎨ x = z ⎩ x = y Wiemy ,ze prosta generują tę wartosc własna zatem ma ona postać (x,y,z) ale w powyższego układu wiemy ,ze x=z, x=y zatem mozna to zapisac jako (x,x,x)