Całki on: Studia/ całki

	du		du		du
xz		+yz		−( x2 + y2 )		=0
	dx		dy		dz

Czy funcja G spełnia powyższe równanie?

	y
u(x,y,z)=G(		, x2 + y2 + z2 )
	x

Jak to w ogóle ruszyć? Z góry dziękuje za pomoc/ rozwiązanie/ cokolwiek!

on: odświeżam

pigor:

	y
... powiem szczerze, że nie rozumiem tego zapisu G(		,x2+y2+z2), nie zapomniałeś czasem
	x

wzoru na funkcji G , choć może o to chodzi :

δu		y		δu		1		δu
	= G(−		,2x),		= G(		,2y),		= G(2z),
δx		x2		δy		x		δz

więc:

	δu		δu		δu
xz		+ yz		− (x2+y2)		=
	δx		δy		δz

	y		1
= xz G(−		,2x)+ yz G(		,2y)− (x2+y2) G(2z)= i dalej nie mam pojęcia .
	x2		x

Trivial: pigor: Ten zapis oznacza że funkcja trójargumentowa u(x,y,z) jest funkcją dwuargumentową G(s,t) po podstawieniu s = y/x, t = x²+y²+z². Skoro już zacząłem, to równie dobrze mogę odpowiedzieć. Zamieniamy zmienne (x,y,z) na (s,t) przy czym

	⎧	s = y/x
	⎩	t = x2+y2+z2

Chcemy wyrazić pochodne cząstkowe za pomocą nowych zmiennych. Korzystamy ze wzorów:

	∂u		∂u	∂s		∂u	∂t
		=			+
	∂x		∂s	∂x		∂t	∂x

	∂u		∂u	∂s		∂u	∂t
		=			+
	∂y		∂s	∂y		∂t	∂y

	∂u		∂u	∂s		∂u	∂t
		=			+
	∂z		∂s	∂z		∂t	∂z

Czyli

	∂u		y	∂u		∂u
		= −			+ 2x*
	∂x		x2	∂s		∂t

	∂u		1	∂u		∂u
		=			+ 2y*
	∂y		x	∂s		∂t

	∂u		∂u
		= 2z*
	∂z		∂t

Wstawiając do równania mamy:

	∂u		∂u		∂u
xy		+ yz		− (x2+y2)
	∂x		∂y		∂z

y2

∂u

∂u

yz

∂u

∂u

∂u

= −

+2x2y

+

+2y2z

−(2x2z+2y2z)

x

∂s

∂t

x

∂s

∂t

∂t

	y2−yz)	∂u		∂u
= −			+ 2x2(y−z)
	x	∂s		∂t

No i chyba to się bardziej już nie uprości, zatem funkcja G nie spełnia równania. Być może gdzieś mam błąd.

Trivial: Już widzę, co jest źle! Jest inne równanie.

	∂u		∂u		∂u
xz		+ yz		− (x2+y2)		= ... = 0
	∂x		∂y		∂z

W miejscu kropek (...) wstawiamy, wymnażamy, upraszczamy. Wszystko się poskraca, czyli funkcja G spełnia równanie.

on: ślicznie ale jak ty napisałes tutaj te znaczki pochodnych cząstkowych ?

PW: Można np. poprzez program "Tablica znaków" (charmap.exe). W czcionce Microsoft Sans Serif (tej używa nasz edytor) wybrać podzakres unicode "operatory matematyczne". Zestaw jest ubogi, ale ∂ można stamtąd skopiować i wkleić tutaj.